题目
22(4分)设 f(x)= { ^-xxgt 0 x xleqslant 0 . 则f(x)在 x=0 处(). ()-|||-OA连连但不可导 ○ B.右导数存在而左导数不存在-|||-C.可导 C D.左导数存在而右导数不存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：检查函数在 x=0 处的连续性
函数在 x=0 处的左极限为 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$，右极限为 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^3e^{-x} = 0$。由于左极限和右极限相等，且等于函数在 x=0 处的值，因此函数在 x=0 处连续。
步骤 2：检查函数在 x=0 处的可导性
函数在 x=0 处的左导数为 $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h - 0}{h} = 1$，右导数为 $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^3e^{-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h^2e^{-h} = 0$。由于左导数和右导数不相等，因此函数在 x=0 处不可导。
步骤 3：确定函数在 x=0 处的导数情况
由于函数在 x=0 处连续但不可导，因此函数在 x=0 处的导数情况为左导数存在而右导数不存在。
函数在 x=0 处的左极限为 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$，右极限为 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^3e^{-x} = 0$。由于左极限和右极限相等，且等于函数在 x=0 处的值，因此函数在 x=0 处连续。
步骤 2：检查函数在 x=0 处的可导性
函数在 x=0 处的左导数为 $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h - 0}{h} = 1$，右导数为 $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^3e^{-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h^2e^{-h} = 0$。由于左导数和右导数不相等，因此函数在 x=0 处不可导。
步骤 3：确定函数在 x=0 处的导数情况
由于函数在 x=0 处连续但不可导，因此函数在 x=0 处的导数情况为左导数存在而右导数不存在。