题型10.5 计算由参数方程所确定的函数的二阶导例10.5.1 2013-15 设函数y=y(x)由参数方程{}x=t-ln(1+t),y=t^3+t^2.)/(dx)解：(dy)/(dx)=(3t^2+2t)/(1-frac(1){1+t)}=(3t+2)(1+t)=3t^2+5t+2(d^2y)/(dx^2)=(d)/(dt)(3t^2+5t+2)times(dt)/(dx)=((6t+5)(1+t))/(t)

本题考查由参数方程所确定的函数的二阶导数的计算。解题思路如下：

1. 首先，根据参数方程求导法则，分别对参数方程中的$x$和$y$关于参数$t$求导，得到$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$。
2. 然后，利用一阶导数公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，将$\frac{dy}{dt}$和$\frac{dx}{dt}$代入计算出一阶导数$\frac{dy}{dx}$。
3. 最后，根据二阶导数公式$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\cdot\frac{dt}{dx}$，先对一阶导数$\frac{dy}{dx}$关于$t$求导，再乘以$\frac{dt}{dx}$，从而得到二阶导数$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$。

下面进行详细的计算：

1. 求$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$：
   • 对$x = t - \ln(1 + t)$关于$t$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(\ln X)^\prime=\frac{1}{X}$可得：
     $\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(t - \ln(1 + t))=\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(\ln(1 + t))=1-\frac{1}{1 + t}$
     通分可得：$\frac{dx}{dt}=\frac{1 + t - 1}{1 + t}=\frac{t}{1 + t}$
   • 对$y = t^3 + t^2$关于$t$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
     $\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(t^3 + t^2)=\frac{d}{dt}(t^3)+\frac{d}{dt}(t^2)=3t^2 + 2t$
2. 求一阶导数$\frac{dy}{dx}$：
   将$\frac{dy}{dt}=3t^2 + 2t$和$\frac{dx}{dt}=\frac{t}{1 + t}$代入一阶导数公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$可得：
   $\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2 + 2t}{\frac{t}{1 + t}}=(3t^2 + 2t)\cdot\frac{1 + t}{t}$
   提取公因式$t$可得：$\frac{dy}{dx}=t(3t + 2)\cdot\frac{1 + t}{t}=(3t + 2)(1 + t)$
   展开可得：$\frac{dy}{dx}=3t^2 + 5t + 2$
3. 求二阶导数$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$：
   • 先对一阶导数$\frac{dy}{dx}=3t^2 + 5t + 2$关于$t$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
     $\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dt}(3t^2 + 5t + 2)=\frac{d}{dt}(3t^2)+\frac{d}{dt}(5t)+\frac{d}{dt}(2)=6t + 5$
   • 再求$\frac{dt}{dx}$，因为$\frac{dx}{dt}=\frac{t}{1 + t}$，所以$\frac{dt}{dx}=\frac{1 + t}{t}$。
   • 将$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=6t + 5$和$\frac{dt}{dx}=\frac{1 + t}{t}$代入二阶导数公式$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\cdot\frac{dt}{dx}$可得：
     $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=(6t + 5)\cdot\frac{1 + t}{t}=\frac{(6t + 5)(1 + t)}{t}$