题目

求下列参数方程所确定的函数的二阶导数求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 dfrac ({d)^-y}(d{x)^2}-|||-(1) { , y=1-t . 设f"(t)存在且不为零.

求下列参数方程所确定的函数的二阶导数

题目解答

答案

（1） $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-1}{t}$ ，

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{1}{t^2}}{t}=\frac{1}{t^3}$

(2） $\frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t$ , $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-\frac{b}{a}\left(-\csc^2t\right)}{-a\sin t}=\frac{-b}{a^2\sin^3t}$ 。

(3)

$\frac{dy}{dx}=\frac{2e^t}{-3e^{-t}}=-\frac{2}{3}e^{2t}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-\frac{4}{3}e^{-2t}}{-3e^{-t}}=\frac{4}{9}e^{3t}$

(4)

$\frac{dy}{dx}=\frac{f'\left(t\right)+tf''\left(t\right)-f'\left(t\right)}{f''\left(t\right)}=t$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{f''\left(t\right)}$

解析

步骤 1：计算 $\dfrac{dy}{dx}$
对于参数方程 $\left \{ \begin{matrix} x=\dfrac{{t}^{2}}{2},\\ y=1-t\end{matrix} \right.$，我们首先计算 $\dfrac{dy}{dx}$。根据链式法则，$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$。
步骤 2：计算 $\dfrac{dx}{dt}$ 和 $\dfrac{dy}{dt}$
对于 $x=\dfrac{{t}^{2}}{2}$，我们有 $\dfrac{dx}{dt} = t$。对于 $y=1-t$，我们有 $\dfrac{dy}{dt} = -1$。
步骤 3：计算 $\dfrac{dy}{dx}$
将 $\dfrac{dx}{dt}$ 和 $\dfrac{dy}{dt}$ 代入 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1}{t}$。
步骤 4：计算 $\dfrac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$
根据链式法则，$\dfrac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\dfrac{dy}{dx})}{\dfrac{dx}{dt}}$。我们已经知道 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1}{t}$，所以 $\dfrac{d}{dt}(\dfrac{dy}{dx}) = \dfrac{1}{{t}^{2}}$。因此，$\dfrac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{{t}^{2}}}{t} = \dfrac{1}{{t}^{3}}$。