题目
3.设U为可逆矩阵 =(U)^TU, 证明 =(x)^TAx 为正定二次型.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义正定二次型
正定二次型是指对于任意非零向量 $x$，二次型 $f(x) = x^TAx$ 的值都大于零，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
步骤 2：利用矩阵 $A$ 的形式
已知 $A = U^TU$，其中 $U$ 是一个可逆矩阵。由于 $U$ 是可逆的，$U^T$ 也是可逆的，因此 $A$ 是一个对称矩阵。
步骤 3：计算二次型 $f(x)$
对于任意非零向量 $x$，计算 $f(x) = x^TAx = x^T(U^TU)x$。利用矩阵乘法的结合律，可以将上式重写为 $f(x) = (Ux)^T(Ux)$。
步骤 4：分析二次型 $f(x)$ 的值
由于 $U$ 是可逆矩阵，对于任意非零向量 $x$，$Ux$ 也是非零向量。因此，$(Ux)^T(Ux)$ 是一个非零向量的内积，其值为正。即 $f(x) = (Ux)^T(Ux) > 0$。
步骤 5：结论
由于对于任意非零向量 $x$，$f(x) > 0$，因此 $f(x) = x^TAx$ 是一个正定二次型。
正定二次型是指对于任意非零向量 $x$，二次型 $f(x) = x^TAx$ 的值都大于零，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
步骤 2：利用矩阵 $A$ 的形式
已知 $A = U^TU$，其中 $U$ 是一个可逆矩阵。由于 $U$ 是可逆的，$U^T$ 也是可逆的，因此 $A$ 是一个对称矩阵。
步骤 3：计算二次型 $f(x)$
对于任意非零向量 $x$，计算 $f(x) = x^TAx = x^T(U^TU)x$。利用矩阵乘法的结合律，可以将上式重写为 $f(x) = (Ux)^T(Ux)$。
步骤 4：分析二次型 $f(x)$ 的值
由于 $U$ 是可逆矩阵，对于任意非零向量 $x$，$Ux$ 也是非零向量。因此，$(Ux)^T(Ux)$ 是一个非零向量的内积，其值为正。即 $f(x) = (Ux)^T(Ux) > 0$。
步骤 5：结论
由于对于任意非零向量 $x$，$f(x) > 0$，因此 $f(x) = x^TAx$ 是一个正定二次型。