题目

设=[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)] 是=[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)] 阶矩阵，方程组=[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)] 的通解是=[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)] ，证明：=[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)] 不能由=[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)] 线性表出，但=[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)] 可由=[ (a)_(1),(a)_(2),(a)_(3),(a)_(4)] 线性表出，并写出表达式

设 $A=[a_1,a_2,a_3,a_4]$ 是 $4$ 阶矩阵，方程组 $Ax=b$ 的通解是 $(2,1,0,1)^T+k(1,-1,2,0)^T$ ，证明： $a_4$ 不能由 $a_1,a_2,a_3$ 线性表出，但 $a_4$ 可由 $a_1,a_2,b$ 线性表出，并写出表达式

题目解答

答案

由于方程组 $Ax=b$ 的通解是 $(2,1,0,1)^T+k(1,-1,2,0)^T$ ，则 $(1,-1,2,0)^T$ 是方程组 $Ax=0$ 的基础解系，即 $r(A)=3$ 且 $[ a _ 1 , a _ 2 , a _ 3 , a _ 4 ] \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}=a_1-a_2+2a_3=0$ ，则显然 $a_1,a_2,a_3$ 线性相关，又因为 $r(A)=3$ ，所以 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 线性无关，故 $a_4$ 不能由 $a_1,a_2,a_3$ 线性表出， $(2,1,0,1)^T$ 是方程组 $Ax=b$ 的一个特解，即 $(a_1,a_2,a_3,a_4)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=b$ ，即 $2a_1+a_2+a_4=b$ ，所以 $a_4=b-2a_1-a_2$

解析

步骤 1：确定方程组Ax=b的通解
方程组Ax=b的通解是${(2,1,0,1)}^{T}+k(1,-1,2,0)$，其中${(1,-1,2,0)}^{T}$是方程组Ax=0的基础解系，而${(2,1,0,1)}^{T}$是方程组Ax=b的一个特解。

步骤 2：确定矩阵A的秩
由于${(1,-1,2,0)}^{T}$是方程组Ax=0的基础解系，所以方程组Ax=0的解空间的维数为1，即矩阵A的秩$T(A)=4-1=3$。

步骤 3：证明a4不能由a1,a2,a3线性表出
由于$T(A)=3$，所以矩阵A的列向量组a1,a2,a3,a4的秩为3，即a1,a2,a3,a4线性无关。因此，a4不能由a1,a2,a3线性表出。

步骤 4：证明a4可由a1,a2,b线性表出
由于${(2,1,0,1)}^{T}$是方程组Ax=b的一个特解，所以$A{(2,1,0,1)}^{T}=b$，即$2{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{4}=b$。因此，${a}_{4}=b-2{a}_{1}-{a}_{2}$，即a4可由a1,a2,b线性表出。