如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交widehat(AC)于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.D C-|||-F-|||-E A 0-|||-B(1)求证：AC∥DE；(2)连接CD，若OA=AE=a，求四边形ACDE的面积.

考查要点：本题综合考查圆的性质、切线性质、平行四边形判定及面积计算。
解题思路：

1. 第（1）问：利用弦的中垂线性质和切线性质，证明两条直线均与同一直线垂直，从而得平行。
2. 第（2）问：通过特殊角（30°）的直角三角形求边长，结合平行四边形判定及面积公式求解。
   破题关键：

• 第（1）问抓住垂直关系的传递性；
• 第（2）问需发现含30°角的直角三角形，并利用平行四边形的面积特性。

第（1）题

证明：

1. 弦的中垂线性质：
   ∵ F为弦AC的中点，
   ∴ $OF \perp AC$（弦的垂直平分线必过圆心）。

2. 切线性质：
   ∵ DE是⊙O的切线，OD为半径，
   ∴ $OD \perp DE$。

3. 平行判定：
   ∵ $OF$与$OD$共线，且$AC \perp OD$，$DE \perp OD$，
   ∴ $AC \parallel DE$（同垂直于一条直线的两直线平行）。

第（2）题

解题步骤：

步骤1：分析特殊角

• 在Rt△ODE中，$OD = OA = a$，$AE = a$，则$OE = OA + AE = 2a$。
  ∵ $\sin \theta = \frac{OD}{OE} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$，
  ∴ $\theta = 30^\circ$，即$\angle DEO = 30^\circ$。
• 同理，在Rt△OFA中，$\angle OAF = 30^\circ$。

步骤2：证明四边形ACDE是平行四边形

1. 由（1）已证：$AC \parallel DE$。
2. 证明$CD \parallel AE$：
   ∵ $\angle ACD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$（圆周角定理），
   ∵ $\angle OAE = 30^\circ$，
   ∴ $\angle ACD = \angle OAE$，即$CD \parallel AE$。

步骤3：计算面积

1. 求DE的长度：
   在Rt△ODE中，$DE = OE \cdot \sin 30^\circ = 2a \cdot \frac{1}{2} = a$。
2. 求AC的长度：
   在Rt△OFA中，$AF = OA \cdot \sin 30^\circ = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$，
   ∴ $AC = 2AF = a$。
3. 面积计算：
   四边形ACDE为平行四边形，面积$S = AC \cdot AE \cdot \sin 30^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$。