题目
15 例断(3分)设P(x,y),Q(x,y)在区域D内偏导数连续,且 dfrac (OP)(Oy)=dfrac (OQ)(Qx) 则对于D内任意闭曲线-|||-上积分 ∫LPdx+Qdy=0-|||-A-|||-B.X
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解格林公式
格林公式是用于计算平面上闭合曲线积分的定理，它将曲线积分转换为二重积分。对于一个闭合曲线L，如果P(x,y)和Q(x,y)在区域D内偏导数连续，且满足 $\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，则有：
\[ \oint_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \iint_{D} \left( \dfrac {\partial Q}{\partial x} - \dfrac {\partial P}{\partial y} \right) dxdy \]
步骤 2：应用格林公式
根据题目条件，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，代入格林公式，得到：
\[ \oint_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \iint_{D} \left( \dfrac {\partial Q}{\partial x} - \dfrac {\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \iint_{D} 0 \cdot dxdy = 0 \]
步骤 3：得出结论
根据格林公式和题目条件，对于D内任意闭曲线L上的积分 ${\int }_{L}^{p}{d}^{-2}{p}_{1}(d){d}_{2}(y)=0$ 成立。
格林公式是用于计算平面上闭合曲线积分的定理，它将曲线积分转换为二重积分。对于一个闭合曲线L，如果P(x,y)和Q(x,y)在区域D内偏导数连续，且满足 $\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，则有：
\[ \oint_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \iint_{D} \left( \dfrac {\partial Q}{\partial x} - \dfrac {\partial P}{\partial y} \right) dxdy \]
步骤 2：应用格林公式
根据题目条件，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=\dfrac {\partial Q}{\partial x}$，代入格林公式，得到：
\[ \oint_{L} P(x,y)dx + Q(x,y)dy = \iint_{D} \left( \dfrac {\partial Q}{\partial x} - \dfrac {\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \iint_{D} 0 \cdot dxdy = 0 \]
步骤 3：得出结论
根据格林公式和题目条件，对于D内任意闭曲线L上的积分 ${\int }_{L}^{p}{d}^{-2}{p}_{1}(d){d}_{2}(y)=0$ 成立。