题目
若函数 f(x) 的一个原函数是 ln x,则 f'(x)= ( )A. -(1)/(x^2)B. (1)/(x^2)C. (1)/(x)D. ln x
若函数 $f(x)$ 的一个原函数是 $\ln x$,则 $f'(x)= (\quad)$
A. $-\frac{1}{x^2}$
B. $\frac{1}{x^2}$
C. $\frac{1}{x}$
D. $\ln x$
题目解答
答案
A. $-\frac{1}{x^2}$
解析
原函数的定义是:若函数$F(x)$是$f(x)$的一个原函数,则$F'(x) = f(x)$。本题中,已知$\ln x$是$f(x)$的原函数,因此首先需要求出$f(x)$,再对$f(x)$求导得到$f'(x)$。关键在于正确应用导数的计算规则,尤其是分式函数的导数。
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求$f(x)$
根据原函数的定义,$\ln x$是$f(x)$的原函数,因此:
$f(x) = \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}$ -
求$f'(x)$
对$f(x) = \frac{1}{x}$再次求导:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( x^{-1} \right) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$