题目
(6)设a_(1),a_(2),a_(3),a_(4)是n维向量，a_(1),a_(2)线性无关，a_(1),a_(2),a_(3)线性相关，且 a_(1)+a_(2)+a_(4)=0，在空间直角坐标系O-xyz中，关于x,y,z的方程组 xα_(1)+yα_(2)+zα_(3)=α_(4)的几何图形是 (A.)过原点的一个平面 (B.)过原点的一条直线 (C.)不过原点的一个平面 (D.)不过原点的一条直线
(6)设$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$是n维向量，$a_{1},a_{2}$线性无关，$a_{1},a_{2},a_{3}$线性相关，且 $a_{1}+a_{2}+a_{4}=0$，在空间直角坐标系O-xyz中，关于x,y,z的方程组 $xα_{1}+yα_{2}+zα_{3}=α_{4}$的几何图形是 (
A.)过原点的一个平面 (
B.)过原点的一条直线 (
C.)不过原点的一个平面 (
D.)不过原点的一条直线
A.)过原点的一个平面 (
B.)过原点的一条直线 (
C.)不过原点的一个平面 (
D.)不过原点的一条直线
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要分析给定的条件，并确定方程组 $x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3 = \alpha_4$ 的几何图形。
1. **条件分析：**
- $a_1$ 和 $a_2$ 线性无关。这意味着 $a_1$ 和 $a_2$ 不是彼此的标量倍数。
- $a_1, a_2, a_3$ 线性相关。这意味着 $a_3$ 可以表示为 $a_1$ 和 $a_2$ 的线性组合。因此，存在标量 $c_1$ 和 $c_2$，使得 $a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$。
- $a_1 + a_2 + a_4 = 0$。这意味着 $a_4 = -a_1 - a_2$。
2. **方程组：**
我们需要解方程组 $x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3 = \alpha_4$。将 $a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$ 和 $a_4 = -a_1 - a_2$ 代入方程组，我们得到：
\[
x\alpha_1 + y\alpha_2 + z(c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2) = -\alpha_1 - \alpha_2
\]
合并同类项，我们有：
\[
(x + zc_1 + 1)\alpha_1 + (y + zc_2 + 1)\alpha_2 = 0
\]
由于 $a_1$ 和 $a_2$ 线性无关，$a_1$ 和 $a_2$ 的系数必须各自为零。因此，我们得到方程组：
\[
x + zc_1 + 1 = 0
\]
\[
y + zc_2 + 1 = 0
\]
这是一个包含两个方程和三个未知数（$x$，$y$，和 $z$）的系统。这个系统的解集在三维空间中代表一条直线。
3. **检查直线是否通过原点：**
为了检查直线是否通过原点，我们将 $x = 0$，$y = 0$，和 $z = 0$ 代入方程组：
\[
0 + 0 \cdot c_1 + 1 = 1 \neq 0
\]
\[
0 + 0 \cdot c_2 + 1 = 1 \neq 0
\]
由于两个方程都不满足，直线不通过原点。
因此，方程组 $x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3 = \alpha_4$ 的几何图形是一条不过原点的直线。正确答案是：
\[
\boxed{\text{D}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查向量的线性相关性、线性方程组的几何意义，以及空间几何图形的判断。
解题核心思路：
- 利用线性相关性简化方程：由$a_1, a_2$线性无关，$a_1, a_2, a_3$线性相关，可知$a_3$可被$a_1, a_2$线性表示，即$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$。
- 代入方程并整理：将$a_3$和$a_4 = -a_1 -a_2$代入原方程，利用$a_1, a_2$的线性无关性，得到关于$x, y, z$的线性方程组。
- 分析解的结构：通过自由变量参数化，判断解集的几何图形为直线，并验证是否过原点。
破题关键点：
- 线性相关性的应用：通过$a_3$的表达式消元，将方程转化为关于$x, y$的线性关系。
- 几何图形的判断：解集为二维空间中的直线，但需结合常数项判断是否过原点。
条件分析
- $a_1, a_2$线性无关：说明$a_1$和$a_2$是二维空间中的一组基底。
- $a_1, a_2, a_3$线性相关：存在标量$c_1, c_2$，使得$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$。
- $a_1 + a_2 + a_4 = 0$：可得$a_4 = -a_1 - a_2$。
方程变形
将$a_3$和$a_4$代入原方程：
$x a_1 + y a_2 + z (c_1 a_1 + c_2 a_2) = -a_1 - a_2$
整理得：
$(x + z c_1 + 1) a_1 + (y + z c_2 + 1) a_2 = 0$
由于$a_1, a_2$线性无关，系数必须为零：
$\begin{cases}x + z c_1 + 1 = 0 \\y + z c_2 + 1 = 0\end{cases}$
解的结构
以$z$为自由变量，解得：
$x = -1 - z c_1, \quad y = -1 - z c_2, \quad z \in \mathbb{R}$
解集为一条直线，参数形式为：
$(x, y, z) = (-1, -1, 0) + z(-c_1, -c_2, 1)$
过原点判断
将$(0, 0, 0)$代入方程：
$0 + 0 + 0 = a_4 \implies a_4 = 0$
但$a_4 = -a_1 -a_2 \neq 0$（因$a_1, a_2$线性无关），故直线不过原点。