(6)设a_(1),a_(2),a_(3),a_(4)是n维向量，a_(1),a_(2)线性无关，a_(1),a_(2),a_(3)线性相关，且 a_(1)+a_(2)+a_(4)=0，在空间直角坐标系O-xyz中，关于x,y,z的方程组 xα_(1)+yα_(2)+zα_(3)=α_(4)的几何图形是A. 过原点的一个平面B. 过原点的一条直线C. 不过原点的一个平面D. 不过原点的一条直线

考查要点：本题主要考查向量的线性相关性、线性方程组的几何意义，以及空间几何图形的判断。

解题核心思路：

1. 利用线性相关性简化方程：由$a_1, a_2$线性无关，$a_1, a_2, a_3$线性相关，可知$a_3$可被$a_1, a_2$线性表示，即$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$。
2. 代入方程并整理：将$a_3$和$a_4 = -a_1 -a_2$代入原方程，利用$a_1, a_2$的线性无关性，得到关于$x, y, z$的线性方程组。
3. 分析解的结构：通过自由变量参数化，判断解集的几何图形为直线，并验证是否过原点。

破题关键点：

• 线性相关性的应用：通过$a_3$的表达式消元，将方程转化为关于$x, y$的线性关系。
• 几何图形的判断：解集为二维空间中的直线，但需结合常数项判断是否过原点。

条件分析

1. $a_1, a_2$线性无关：说明$a_1$和$a_2$是二维空间中的一组基底。
2. $a_1, a_2, a_3$线性相关：存在标量$c_1, c_2$，使得$a_3 = c_1 a_1 + c_2 a_2$。
3. $a_1 + a_2 + a_4 = 0$：可得$a_4 = -a_1 - a_2$。

方程变形

将$a_3$和$a_4$代入原方程：
$x a_1 + y a_2 + z (c_1 a_1 + c_2 a_2) = -a_1 - a_2$
整理得：
$(x + z c_1 + 1) a_1 + (y + z c_2 + 1) a_2 = 0$
由于$a_1, a_2$线性无关，系数必须为零：
$\begin{cases}x + z c_1 + 1 = 0 \\y + z c_2 + 1 = 0\end{cases}$

解的结构

以$z$为自由变量，解得：
$x = -1 - z c_1, \quad y = -1 - z c_2, \quad z \in \mathbb{R}$
解集为一条直线，参数形式为：
$(x, y, z) = (-1, -1, 0) + z(-c_1, -c_2, 1)$

过原点判断

将$(0, 0, 0)$代入方程：
$0 + 0 + 0 = a_4 \implies a_4 = 0$
但$a_4 = -a_1 -a_2 \neq 0$（因$a_1, a_2$线性无关），故直线不过原点。