题目
例3 =ln (x+sqrt (1+{x)^2}), 求y`
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要对给定的函数 $y=\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 求导。根据链式法则，我们有：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x+\sqrt{1+x^2})
$$
步骤 2：计算导数
接下来，我们计算 $x+\sqrt{1+x^2}$ 的导数。根据求导法则，我们有：
$$
\frac{d}{dx}(x+\sqrt{1+x^2}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$$
步骤 3：代入并化简
将步骤 2 的结果代入步骤 1 的表达式中，我们得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)
$$
化简上述表达式，我们得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
$$
首先，我们需要对给定的函数 $y=\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$ 求导。根据链式法则，我们有：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x+\sqrt{1+x^2})
$$
步骤 2：计算导数
接下来，我们计算 $x+\sqrt{1+x^2}$ 的导数。根据求导法则，我们有：
$$
\frac{d}{dx}(x+\sqrt{1+x^2}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$$
步骤 3：代入并化简
将步骤 2 的结果代入步骤 1 的表达式中，我们得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)
$$
化简上述表达式，我们得到：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
$$