题目

求下列定积分:-|||-(10) (int )_(1)^sqrt (3)dfrac (dx)({x)^2sqrt (1+{x)^2}}

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是涉及根式和分式结构的有理函数积分。关键在于选择合适的变量替换，将复杂的积分转化为可处理的形式。

解题核心思路：
观察到积分中含有$\sqrt{1+x^2}$，通常考虑三角替换（令$x = \tan\theta$），将根式转化为三角函数形式，简化积分。通过替换后，积分转化为关于$\theta$的有理函数积分，进一步利用基本积分公式求解。

破题关键点：

  1. 变量替换：令$x = \tan\theta$，将$\sqrt{1+x^2}$转化为$\sec\theta$。
  2. 积分简化：通过三角恒等式和分式化简，将积分转化为$\int \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} d\theta$。
  3. 换元积分：令$u = \sin\theta$，直接应用基本积分公式求解。

变量替换与积分化简

  1. 令$x = \tan\theta$，则$dx = \sec^2\theta d\theta$，且当$x$从$1$到$\sqrt{3}$时，$\theta$从$\frac{\pi}{4}$到$\frac{\pi}{3}$。
  2. 代入积分：
    $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2 \sqrt{1+x^2}} = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sec^2\theta d\theta}{\tan^2\theta \cdot \sec\theta} = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sec\theta}{\tan^2\theta} d\theta.$
  3. 化简被积函数：
    $\frac{\sec\theta}{\tan^2\theta} = \frac{1/\cos\theta}{(\sin^2\theta/\cos^2\theta)} = \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.$
    因此，积分变为：
    $\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} d\theta.$

换元积分

  1. 令$u = \sin\theta$，则$du = \cos\theta d\theta$，积分上下限变为：
    • 当$\theta = \pi/4$时，$u = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
    • 当$\theta = \pi/3$时，$u = \sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
  2. 代入积分：
    $\int_{\sqrt{2}/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{du}{u^2} = \int_{\sqrt{2}/2}^{\sqrt{3}/2} u^{-2} du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{\sqrt{2}/2}^{\sqrt{3}/2}.$
  3. 计算定积分：
    $-\frac{1}{\sqrt{3}/2} + \frac{1}{\sqrt{2}/2} = -\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}.$