题目
1.求下列齐次方程的通解:-|||-(1) '-y-sqrt ({y)^2-(x)^2}=0;
题目解答
答案
解析
步骤 1：方程变形
原方程为 $xy'-y-\sqrt {{y}^{2}-{x}^{2}}=0$。当 $x\gt 0$ 时，可以将原方程写成 $y'=\dfrac {y}{x}+\sqrt {{(\dfrac {y}{x})}^{2}-1}$。
步骤 2：引入变量
令 $u=\dfrac {y}{x}$，即 $y=xu$，则有 $y'=u+xu'$。将 $y'$ 代入原方程，得到 $u+xu'=u+\sqrt {{u}^{2}-1}$。
步骤 3：分离变量
将方程 $u+xu'=u+\sqrt {{u}^{2}-1}$ 化简为 $xu'=\sqrt {{u}^{2}-1}$，即 $\dfrac {du}{\sqrt {{u}^{2}-1}}=\dfrac {dx}{x}$。
步骤 4：积分
对等式两边积分，得到 $\int \dfrac {du}{\sqrt {{u}^{2}-1}}=\int \dfrac {dx}{x}$。左边的积分是 $\ln |u+\sqrt {{u}^{2}-1}|$，右边的积分是 $\ln |x|+C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，有 $\ln |u+\sqrt {{u}^{2}-1}|=\ln |x|+C$。
步骤 5：求解 $u$
将上式化简为 $u+\sqrt {{u}^{2}-1}=C_{1}x$，其中 $C_{1}=e^{C}$。将 $u=\dfrac {y}{x}$ 代入，得到 $\dfrac {y}{x}+\sqrt {{(\dfrac {y}{x})}^{2}-1}=C_{1}x$。
步骤 6：整理通解
将上式整理为 $y+\sqrt {{y}^{2}-{x}^{2}}=C{x}^{2}$，其中 $C=C_{1}$。这就是原方程的通解。
原方程为 $xy'-y-\sqrt {{y}^{2}-{x}^{2}}=0$。当 $x\gt 0$ 时，可以将原方程写成 $y'=\dfrac {y}{x}+\sqrt {{(\dfrac {y}{x})}^{2}-1}$。
步骤 2：引入变量
令 $u=\dfrac {y}{x}$，即 $y=xu$，则有 $y'=u+xu'$。将 $y'$ 代入原方程，得到 $u+xu'=u+\sqrt {{u}^{2}-1}$。
步骤 3：分离变量
将方程 $u+xu'=u+\sqrt {{u}^{2}-1}$ 化简为 $xu'=\sqrt {{u}^{2}-1}$，即 $\dfrac {du}{\sqrt {{u}^{2}-1}}=\dfrac {dx}{x}$。
步骤 4：积分
对等式两边积分，得到 $\int \dfrac {du}{\sqrt {{u}^{2}-1}}=\int \dfrac {dx}{x}$。左边的积分是 $\ln |u+\sqrt {{u}^{2}-1}|$，右边的积分是 $\ln |x|+C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，有 $\ln |u+\sqrt {{u}^{2}-1}|=\ln |x|+C$。
步骤 5：求解 $u$
将上式化简为 $u+\sqrt {{u}^{2}-1}=C_{1}x$，其中 $C_{1}=e^{C}$。将 $u=\dfrac {y}{x}$ 代入，得到 $\dfrac {y}{x}+\sqrt {{(\dfrac {y}{x})}^{2}-1}=C_{1}x$。
步骤 6：整理通解
将上式整理为 $y+\sqrt {{y}^{2}-{x}^{2}}=C{x}^{2}$，其中 $C=C_{1}$。这就是原方程的通解。