题目
10.填空题一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件正常工作的概率为0.9，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。保留四位小数 Phi(1.67)=0.9525
10.填空题
一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件正常工作的概率为0.9，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。保留四位小数 $\Phi(1.67)=0.9525$
题目解答
答案
为了求出整个系统起作用的概率，我们需要计算至少有85个部件正常工作的概率。这个问题可以使用二项分布来描述，但当部件数量较大时，可以使用正态分布进行近似。
### 步骤1：定义随机变量
设 $X$ 为正常工作的部件数。根据题意，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.9)$。
### 步骤2：计算期望和方差
对于二项分布 $B(n, p)$，期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为：
\[ E(X) = np = 100 \times 0.9 = 90 \]
\[ D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9 \]
### 步骤3：使用正态分布近似
当 $n$ 较大时，二项分布可以近似为正态分布 $N(E(X), D(X))$。因此， $X$ 近似服从 $N(90, 9)$。
### 步骤4：标准正态化
我们需要求 $P(X \geq 85)$。为了使用标准正态分布表，我们对 $X$ 进行标准正态化：
\[ Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} = \frac{X - 90}{3} \]
\[ P(X \geq 85) = P\left(\frac{X - 90}{3} \geq \frac{85 - 90}{3}\right) = P\left(Z \geq -\frac{5}{3}\right) = P\left(Z \geq -1.67\right) \]
### 步骤5：利用标准正态分布的对称性
标准正态分布是关于0对称的，因此：
\[ P(Z \geq -1.67) = 1 - P(Z < -1.67) = 1 - (1 - P(Z < 1.67)) = P(Z < 1.67) \]
### 步骤6：查表
根据题目给出的 $\Phi(1.67) = 0.9525$，我们有：
\[ P(Z < 1.67) = 0.9525 \]
### 步骤7：得出结论
因此，整个系统起作用的概率为：
\[ P(X \geq 85) \approx 0.9525 \]
最终答案是：
\[
\boxed{0.9525}
\]
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 为正常工作的部件数。根据题意，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.9)$。
步骤 2：计算期望和方差
对于二项分布 $B(n, p)$，期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为：
\[ E(X) = np = 100 \times 0.9 = 90 \]
\[ D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9 \]
步骤 3：使用正态分布近似
当 $n$ 较大时，二项分布可以近似为正态分布 $N(E(X), D(X))$。因此，$X$ 近似服从 $N(90, 9)$。
步骤 4：标准正态化
我们需要求 $P(X \geq 85)$。为了使用标准正态分布表，我们对 $X$ 进行标准正态化：
\[ Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} = \frac{X - 90}{3} \]
\[ P(X \geq 85) = P\left(\frac{X - 90}{3} \geq \frac{85 - 90}{3}\right) = P\left(Z \geq -\frac{5}{3}\right) = P\left(Z \geq -1.67\right) \]
步骤 5：利用标准正态分布的对称性
标准正态分布是关于0对称的，因此：
\[ P(Z \geq -1.67) = 1 - P(Z < -1.67) = 1 - (1 - P(Z < 1.67)) = P(Z < 1.67) \]
步骤 6：查表
根据题目给出的 $\Phi(1.67) = 0.9525$，我们有：
\[ P(Z < 1.67) = 0.9525 \]
步骤 7：得出结论
因此，整个系统起作用的概率为：
\[ P(X \geq 85) \approx 0.9525 \]
设 $X$ 为正常工作的部件数。根据题意，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.9)$。
步骤 2：计算期望和方差
对于二项分布 $B(n, p)$，期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 分别为：
\[ E(X) = np = 100 \times 0.9 = 90 \]
\[ D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.9 \times 0.1 = 9 \]
步骤 3：使用正态分布近似
当 $n$ 较大时，二项分布可以近似为正态分布 $N(E(X), D(X))$。因此，$X$ 近似服从 $N(90, 9)$。
步骤 4：标准正态化
我们需要求 $P(X \geq 85)$。为了使用标准正态分布表，我们对 $X$ 进行标准正态化：
\[ Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} = \frac{X - 90}{3} \]
\[ P(X \geq 85) = P\left(\frac{X - 90}{3} \geq \frac{85 - 90}{3}\right) = P\left(Z \geq -\frac{5}{3}\right) = P\left(Z \geq -1.67\right) \]
步骤 5：利用标准正态分布的对称性
标准正态分布是关于0对称的，因此：
\[ P(Z \geq -1.67) = 1 - P(Z < -1.67) = 1 - (1 - P(Z < 1.67)) = P(Z < 1.67) \]
步骤 6：查表
根据题目给出的 $\Phi(1.67) = 0.9525$，我们有：
\[ P(Z < 1.67) = 0.9525 \]
步骤 7：得出结论
因此，整个系统起作用的概率为：
\[ P(X \geq 85) \approx 0.9525 \]