题目
Q-|||-S-|||-↑ S-7 →一链条，总长为L，质量为M，放在粗糙的水平桌面上，链条与桌面间的滑动摩擦系数为μ。其中一端下垂，长度为S，如图所示。假定开始时链条静止，则链条在整个下落过程中摩擦力做功的大小为 ____ 。
一链条，总长为L，质量为M，放在粗糙的水平桌面上，链条与桌面间的滑动摩擦系数为μ。其中一端下垂，长度为S，如图所示。假定开始时链条静止，则链条在整个下落过程中摩擦力做功的大小为 ____ 。题目解答
答案
解：桌面上的链条摩擦力随链条的下滑而变化，设链条在桌面下方的长度为x，则摩擦力
f=$μ\frac{L-x}{L}mg$=$μmg-\frac{x}{L}μmg$
作出摩擦力f与x的图像如图
图像阴影部分面积表示摩擦力做的功，由数学知识可得
Wf=-$\frac{μmg（L-a）^{2}}{2L}$（做负功）。
故答案为：-$\frac{μmg（L-a）^{2}}{2L}$
f=$μ\frac{L-x}{L}mg$=$μmg-\frac{x}{L}μmg$
作出摩擦力f与x的图像如图
图像阴影部分面积表示摩擦力做的功，由数学知识可得
Wf=-$\frac{μmg（L-a）^{2}}{2L}$（做负功）。
故答案为：-$\frac{μmg（L-a）^{2}}{2L}$
解析
步骤 1：确定摩擦力随链条下垂长度的变化
设链条在桌面下方的长度为x，则桌面上的链条长度为L-x。由于链条质量均匀分布，桌面上的链条质量为$\frac{L-x}{L}M$。因此，摩擦力$f$为：
$$f = \mu \frac{L-x}{L}Mg$$
步骤 2：计算摩擦力做功
摩擦力做功的大小等于摩擦力与位移的乘积。由于摩擦力随位移x变化，需要对摩擦力进行积分。摩擦力做功$W_f$为：
$$W_f = -\int_{0}^{L-S} f dx = -\int_{0}^{L-S} \mu \frac{L-x}{L}Mg dx$$
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到摩擦力做功的大小：
$$W_f = -\mu Mg \int_{0}^{L-S} \frac{L-x}{L} dx = -\mu Mg \left[ \frac{Lx}{L} - \frac{x^2}{2L} \right]_{0}^{L-S}$$
$$W_f = -\mu Mg \left[ (L-S) - \frac{(L-S)^2}{2L} \right]$$
$$W_f = -\mu Mg \left[ \frac{2L(L-S) - (L-S)^2}{2L} \right]$$
$$W_f = -\mu Mg \left[ \frac{2L^2 - 2LS - L^2 + 2LS - S^2}{2L} \right]$$
$$W_f = -\mu Mg \left[ \frac{L^2 - S^2}{2L} \right]$$
$$W_f = -\frac{\mu Mg(L^2 - S^2)}{2L}$$
设链条在桌面下方的长度为x，则桌面上的链条长度为L-x。由于链条质量均匀分布，桌面上的链条质量为$\frac{L-x}{L}M$。因此，摩擦力$f$为：
$$f = \mu \frac{L-x}{L}Mg$$
步骤 2：计算摩擦力做功
摩擦力做功的大小等于摩擦力与位移的乘积。由于摩擦力随位移x变化，需要对摩擦力进行积分。摩擦力做功$W_f$为：
$$W_f = -\int_{0}^{L-S} f dx = -\int_{0}^{L-S} \mu \frac{L-x}{L}Mg dx$$
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到摩擦力做功的大小：
$$W_f = -\mu Mg \int_{0}^{L-S} \frac{L-x}{L} dx = -\mu Mg \left[ \frac{Lx}{L} - \frac{x^2}{2L} \right]_{0}^{L-S}$$
$$W_f = -\mu Mg \left[ (L-S) - \frac{(L-S)^2}{2L} \right]$$
$$W_f = -\mu Mg \left[ \frac{2L(L-S) - (L-S)^2}{2L} \right]$$
$$W_f = -\mu Mg \left[ \frac{2L^2 - 2LS - L^2 + 2LS - S^2}{2L} \right]$$
$$W_f = -\mu Mg \left[ \frac{L^2 - S^2}{2L} \right]$$
$$W_f = -\frac{\mu Mg(L^2 - S^2)}{2L}$$