题目
均匀半椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) leq 1, y geq 0 的平面薄板重心为(）A. (0, (4b)/(3pi))B. (0, (4b)/(3))C. (0, (5b)/(2pi))D. (1, (2b)/(3pi))
均匀半椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1, y \geq 0$ 的平面薄板重心为(）
A. $\left(0, \frac{4b}{3\pi}\right)$
B. $\left(0, \frac{4b}{3}\right)$
C. $\left(0, \frac{5b}{2\pi}\right)$
D. $\left(1, \frac{2b}{3\pi}\right)$
题目解答
答案
A. $\left(0, \frac{4b}{3\pi}\right)$
解析
步骤 1：确定总质量
均匀半椭圆的总质量 $M$ 可以通过其面积乘以密度 $\rho$ 来计算。半椭圆的面积是 $\frac{1}{2} \pi a b$，因此总质量 $M = \rho \cdot \frac{1}{2} \pi a b$。
步骤 2：计算重心的 $y$-坐标
重心的 $y$-坐标 $\bar{y}$ 可以通过积分求得。具体来说，$\bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \rho \, dA$，其中 $D$ 是半椭圆的区域。将 $M$ 的表达式代入，得到 $\bar{y} = \frac{1}{\rho \cdot \frac{1}{2} \pi a b} \int_{-a}^{a} \int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} y \rho \, dy \, dx$。
步骤 3：执行积分
首先对 $y$ 积分，得到 $\int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} y \, dy = \frac{1}{2} b^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)$。然后对 $x$ 积分，利用对称性，得到 $\int_{-a}^{a} \frac{1}{2} b^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) \, dx = \frac{2 \rho a b^2}{3}$。因此，$\bar{y} = \frac{\frac{2 \rho a b^2}{3}}{\rho \cdot \frac{1}{2} \pi a b} = \frac{4b}{3\pi}$。
均匀半椭圆的总质量 $M$ 可以通过其面积乘以密度 $\rho$ 来计算。半椭圆的面积是 $\frac{1}{2} \pi a b$，因此总质量 $M = \rho \cdot \frac{1}{2} \pi a b$。
步骤 2：计算重心的 $y$-坐标
重心的 $y$-坐标 $\bar{y}$ 可以通过积分求得。具体来说，$\bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \rho \, dA$，其中 $D$ 是半椭圆的区域。将 $M$ 的表达式代入，得到 $\bar{y} = \frac{1}{\rho \cdot \frac{1}{2} \pi a b} \int_{-a}^{a} \int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} y \rho \, dy \, dx$。
步骤 3：执行积分
首先对 $y$ 积分，得到 $\int_{0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} y \, dy = \frac{1}{2} b^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)$。然后对 $x$ 积分，利用对称性，得到 $\int_{-a}^{a} \frac{1}{2} b^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) \, dx = \frac{2 \rho a b^2}{3}$。因此，$\bar{y} = \frac{\frac{2 \rho a b^2}{3}}{\rho \cdot \frac{1}{2} \pi a b} = \frac{4b}{3\pi}$。