1.证明下列各题:-|||-(1) (int )_(1)^+infty dfrac ({y)^2-(x)^2}({({x)^2+(y)^2)}^2}dx 在 (-infty ,+infty ) 上一致收敛;-|||-(2) (int )_(0)^+infty (e)^-(x^2y)dy 在 [ a,b] (agt 0) 上一致收敛;-|||-(3) (int )_(0)^+infty x(e)^-xydy-|||-(i)在 [ a,b] (agt 0) 上一致收敛;(ii)在[0,b]上不一致收敛;-|||-(4)∫_0^1ln(xy)dy在[ [ dfrac (1)(b),b] (bgt 1) 上一致收敛;-|||-(5) (int )_(0)^1dfrac (dx)({x)^p} 在 (-infty ,b] (blt 1) 上一致收敛.
题目解答
答案
解析
一致收敛性证明的核心思路：
- 比较判别法（M判别法）：找到被积函数的绝对值不超过某个与参数无关的可积函数，从而保证一致收敛。
- 变量范围分析：根据积分区间和参数范围，调整不等式估计，确保上界函数的可积性。
- 反例构造：通过余和的下界不趋于零，证明不一致收敛。
第（1）题
关键点：利用绝对值不等式放缩，结合$\int \frac{1}{x^2}dx$的收敛性。
估计绝对值
$\left|\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}\right| \leq \frac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{1}{x^2 + y^2} \leq \frac{1}{x^2}.$
应用M判别法
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx$收敛，故原积分在$(-\infty, +\infty)$上一致收敛。
第（2）题
关键点：利用指数函数的单调性，找到与参数无关的上界。
不等式放缩
当$x \in [a, b]$时，$x^2 \geq a^2$，故
$|e^{-x^2 y}| = e^{-x^2 y} \leq e^{-a^2 y}.$
应用M判别法
$\int_0^{+\infty} e^{-a^2 y}dy$收敛，故原积分在$[a, b]$上一致收敛。
第（3）题
(i) 在$[a, b]$上一致收敛
关键点：利用指数函数的衰减性和参数范围限制。
估计绝对值
当$x \in [a, b]$时，
$|x e^{-xy}| \leq b e^{-a y}.$
应用M判别法
$\int_0^{+\infty} b e^{-a y}dy$收敛，故原积分一致收敛。
(ii) 在$[0, b]$上不一致收敛
关键点：构造余和的下界不趋于零。
选择特定参数
取$\varepsilon_0 = \frac{1}{e^2}$，对任意$M > 0$，令$x_0 = \frac{1}{M}$，则
$\left|\int_{M}^{2M} x_0 e^{-x_0 y} dy\right| = \left| -e^{-x_0 y} \Big|_{M}^{2M} \right| = \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{e^{4}} > \frac{1}{e^2} = \varepsilon_0.$
余和下界不趋于零，故不一致收敛。
第（4）题
关键点：分解对数函数并估计绝对值。
分解对数项
$|\ln(xy)| = |\ln x + \ln y| \leq |\ln x| + |\ln y|.$
估计积分
在$x \in \left[\frac{1}{b}, b\right]$时，$|\ln x| \leq \ln b$，且
$\int_0^1 |\ln y| dy \text{ 收敛}.$
故$\int_0^1 \ln(xy) dy$在$\left[\frac{1}{b}, b\right]$上一致收敛。
第（5）题
关键点：利用幂函数的积分收敛性。
比较判别法
当$p \leq b$（因$b < 1$），
$\frac{1}{x^p} \leq \frac{1}{x^b} \quad (0 < x \leq 1).$
应用M判别法
$\int_0^1 \frac{1}{x^b} dx$收敛，故原积分在$(-\infty, b]$上一致收敛。