题目
16.单选题(4分) 如果五元线性方程组 Ax=0 的同解方程组是 }x_(1)=-3x_(2),x_(2)=0, 则有r(A)为().A. 1B. 2C. 3D. 4
16.单选题(4分) 如果五元线性方程组 $Ax=0$ 的同解方程组是 $\begin{cases}x_{1}=-3x_{2},\\x_{2}=0,\end{cases}$ 则有r(A)为().
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
题目解答
答案
B. 2
解析
步骤 1：分析同解方程组
给定的同解方程组为 $\begin{cases} x_1 = -3x_2, \\ x_2 = 0 \end{cases}$。从这个方程组中，我们可以得出 $x_1 = 0$ 和 $x_2 = 0$。这意味着 $x_1$ 和 $x_2$ 都是固定的，而 $x_3, x_4, x_5$ 可以取任意值，即它们是自由变量。
步骤 2：确定解空间的维数
由于 $x_3, x_4, x_5$ 是自由变量，解空间的维数为3。根据线性代数中的定理，解空间的维数等于未知数的个数减去系数矩阵的秩，即 $n - r(A)$，其中 $n$ 是未知数的个数，$r(A)$ 是系数矩阵 $A$ 的秩。
步骤 3：计算系数矩阵的秩
根据步骤2中的公式，我们有 $n - r(A) = 3$，其中 $n = 5$（因为方程组有5个未知数）。因此，可以解出 $r(A)$： \[ 5 - r(A) = 3 \implies r(A) = 2 \]
给定的同解方程组为 $\begin{cases} x_1 = -3x_2, \\ x_2 = 0 \end{cases}$。从这个方程组中，我们可以得出 $x_1 = 0$ 和 $x_2 = 0$。这意味着 $x_1$ 和 $x_2$ 都是固定的，而 $x_3, x_4, x_5$ 可以取任意值，即它们是自由变量。
步骤 2：确定解空间的维数
由于 $x_3, x_4, x_5$ 是自由变量，解空间的维数为3。根据线性代数中的定理，解空间的维数等于未知数的个数减去系数矩阵的秩，即 $n - r(A)$，其中 $n$ 是未知数的个数，$r(A)$ 是系数矩阵 $A$ 的秩。
步骤 3：计算系数矩阵的秩
根据步骤2中的公式，我们有 $n - r(A) = 3$，其中 $n = 5$（因为方程组有5个未知数）。因此，可以解出 $r(A)$： \[ 5 - r(A) = 3 \implies r(A) = 2 \]