题目
设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξn，0)，则 lim n→∞ f(ξn)=______．
设曲线f(x)=x
n在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξ
n，0)，则
f(ξn)=______．
| lim |
| n→∞ |
题目解答
答案
解；∵f′(1)=[nx
n-1]|
x=1=n
∴f(x)在(1，1)的切线为；y-1=n(x-1)
∴f(x)在(1，1)的切线与x轴的交点为； (1−
，0)
∴
f(ξn)＝
(1−
)n＝
[1+
](−n)(−1)＝e−1
∴f(x)在(1，1)的切线为；y-1=n(x-1)
∴f(x)在(1，1)的切线与x轴的交点为； (1−
| 1 |
| n |
∴
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| n |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| −n |
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数f(x) = x ^{n}在点(1, 1)处的导数。根据幂函数的求导法则，f'(x) = nx ^{n-1}。因此，f'(1) = n * 1 ^{n-1} = n。
步骤 2：求切线方程
根据导数的几何意义，f'(1) = n是曲线f(x) = x ^{n}在点(1, 1)处的切线的斜率。因此，切线方程为y - 1 = n(x - 1)。
步骤 3：求切线与x轴的交点
将切线方程y - 1 = n(x - 1)与x轴的方程y = 0联立，解得x = 1 - 1/n。因此，切线与x轴的交点为(1 - 1/n, 0)。
步骤 4：求极限
根据题意，ξ _n = 1 - 1/n。因此，我们需要求lim_{n→∞} f(ξ _n) = lim_{n→∞} (1 - 1/n) ^{n}。根据极限的定义，lim_{n→∞} (1 - 1/n) ^{n} = e^{-1}。
首先，我们需要求出函数f(x) = x ^{n}在点(1, 1)处的导数。根据幂函数的求导法则，f'(x) = nx ^{n-1}。因此，f'(1) = n * 1 ^{n-1} = n。
步骤 2：求切线方程
根据导数的几何意义，f'(1) = n是曲线f(x) = x ^{n}在点(1, 1)处的切线的斜率。因此，切线方程为y - 1 = n(x - 1)。
步骤 3：求切线与x轴的交点
将切线方程y - 1 = n(x - 1)与x轴的方程y = 0联立，解得x = 1 - 1/n。因此，切线与x轴的交点为(1 - 1/n, 0)。
步骤 4：求极限
根据题意，ξ _n = 1 - 1/n。因此，我们需要求lim_{n→∞} f(ξ _n) = lim_{n→∞} (1 - 1/n) ^{n}。根据极限的定义，lim_{n→∞} (1 - 1/n) ^{n} = e^{-1}。