设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξn，0)，则 lim n→∞ f(ξn)=______．

考查要点：本题主要考查导数的几何意义（求切线方程）、直线与坐标轴交点的求法，以及极限的计算，特别是涉及自然指数$e$的极限形式。

解题核心思路：

1. 求导数：确定曲线$f(x)=x^n$在点$(1,1)$处的切线斜率；
2. 写切线方程：利用点斜式方程写出切线表达式；
3. 求交点：令切线方程中$y=0$，解出$x$坐标$\xi_n$；
4. 求极限：将$\xi_n$代入$f(x)$，利用重要极限$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$的变形形式求解。

破题关键：

• 导数计算：$f'(1) = n \cdot 1^{n-1} = n$；
• 切线方程：$y - 1 = n(x - 1)$；
• 交点坐标：$\xi_n = 1 - \frac{1}{n}$；
• 极限变形：$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \left[1 + \left(-\frac{1}{n}\right)\right]^n \to e^{-1}$。

1. 求导数与切线方程

函数$f(x) = x^n$的导数为$f'(x) = n x^{n-1}$，在$x=1$处，导数值为：
$f'(1) = n \cdot 1^{n-1} = n$
因此，曲线在点$(1,1)$处的切线方程为：
$y - 1 = n(x - 1)$

2. 求切线与x轴的交点

令$y = 0$，代入切线方程：
$0 - 1 = n(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{1}{n} \implies x = 1 - \frac{1}{n}$
因此，交点为$\xi_n = 1 - \frac{1}{n}$。

3. 计算$f(\xi_n)$的极限

将$\xi_n$代入$f(x)$：
$f(\xi_n) = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$
利用重要极限公式$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$，令$a = -1$，得：
$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}$