题目
5.设A,B是n阶方阵,E为n阶单位矩阵,以下命题正确的是 () .-|||-(A) ((A+B))^2=(A)^2+2AB+(B)^2 B) (A+B)(A-B)=(A)^2-(B)^2-|||-(C) (A+E)(A-E)=(A)^2-(E)^2 (D) ((AB))^2=(A)^2(B)^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：验证选项 (A)
${(A+B)}^{2}={A}^{2}+2AB+{B}^{2}$，这个等式在矩阵乘法中不总是成立，因为矩阵乘法不满足交换律，即$AB$不一定等于$BA$。因此，$2AB$不一定等于$AB+BA$，所以选项 (A) 不正确。
步骤 2：验证选项 (B)
$(A+B)(A-B)={A}^{2}-{B}^{2}$，这个等式在矩阵乘法中也不总是成立，因为矩阵乘法不满足交换律，即$AB$不一定等于$BA$。因此，$(A+B)(A-B)$展开后得到${A}^{2}-AB+BA-{B}^{2}$，这不等于${A}^{2}-{B}^{2}$，所以选项 (B) 不正确。
步骤 3：验证选项 (C)
$(A+E)(A-E)={A}^{2}-{E}^{2}$，这个等式在矩阵乘法中是成立的，因为$E$是单位矩阵，满足$E^2=E$，且矩阵乘法满足分配律。因此，$(A+E)(A-E)={A}^{2}-AE+EA-{E}^{2}={A}^{2}-{E}^{2}$，所以选项 (C) 正确。
步骤 4：验证选项 (D)
${(AB)}^{2}={A}^{2}{B}^{2}$，这个等式在矩阵乘法中不总是成立，因为矩阵乘法不满足交换律，即$AB$不一定等于$BA$。因此，${(AB)}^{2}=ABAB$不一定等于$AABB={A}^{2}{B}^{2}$，所以选项 (D) 不正确。
${(A+B)}^{2}={A}^{2}+2AB+{B}^{2}$，这个等式在矩阵乘法中不总是成立，因为矩阵乘法不满足交换律，即$AB$不一定等于$BA$。因此，$2AB$不一定等于$AB+BA$，所以选项 (A) 不正确。
步骤 2：验证选项 (B)
$(A+B)(A-B)={A}^{2}-{B}^{2}$，这个等式在矩阵乘法中也不总是成立，因为矩阵乘法不满足交换律，即$AB$不一定等于$BA$。因此，$(A+B)(A-B)$展开后得到${A}^{2}-AB+BA-{B}^{2}$，这不等于${A}^{2}-{B}^{2}$，所以选项 (B) 不正确。
步骤 3：验证选项 (C)
$(A+E)(A-E)={A}^{2}-{E}^{2}$，这个等式在矩阵乘法中是成立的，因为$E$是单位矩阵，满足$E^2=E$，且矩阵乘法满足分配律。因此，$(A+E)(A-E)={A}^{2}-AE+EA-{E}^{2}={A}^{2}-{E}^{2}$，所以选项 (C) 正确。
步骤 4：验证选项 (D)
${(AB)}^{2}={A}^{2}{B}^{2}$，这个等式在矩阵乘法中不总是成立，因为矩阵乘法不满足交换律，即$AB$不一定等于$BA$。因此，${(AB)}^{2}=ABAB$不一定等于$AABB={A}^{2}{B}^{2}$，所以选项 (D) 不正确。