4.求下列函数所表示曲线的渐近线:-|||-(1) =dfrac (1)(x) ;-|||-(2) =arctan x;-|||-(3) =dfrac (3{x)^3+4}({x)^2-2x}

渐近线是函数图像无限接近但永不相交的直线，分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线：

1. 垂直渐近线：函数值趋向于无穷大的点，通常由分母为零且分子不为零的位置确定；
2. 水平渐近线：当$x \to \pm\infty$时，函数值趋向于某个常数；
3. 斜渐近线：当$x \to \pm\infty$时，函数值趋向于一次函数，需通过多项式除法或分解确定。

第（1）题：$y=\dfrac{1}{x}$

垂直渐近线

分母$x=0$时，函数无定义，且分子不为零，故垂直渐近线为$x=0$。

水平渐近线

当$x \to \pm\infty$时，$\dfrac{1}{x} \to 0$，故水平渐近线为$y=0$。

第（2）题：$y=\arctan x$

水平渐近线

当$x \to +\infty$时，$\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$；
当$x \to -\infty$时，$\arctan x \to -\dfrac{\pi}{2}$，故水平渐近线为$y=\dfrac{\pi}{2}$和$y=-\dfrac{\pi}{2}$。

第（3）题：$y=\dfrac{3x^3+4}{x^2-2x}$

垂直渐近线

分母$x^2-2x = x(x-2)$，当$x=0$或$x=2$时分母为零，分子此时分别为$4$和$3(8)+4=28$（均不为零），故垂直渐近线为$x=0$和$x=2$。

斜渐近线

分子次数（3次）比分母次数（2次）高1次，通过多项式除法分解：
$\frac{3x^3+4}{x^2-2x} = 3x + 6 + \frac{12x+4}{x^2-2x}.$
当$x \to \pm\infty$时，余项$\frac{12x+4}{x^2-2x} \to 0$，故斜渐近线为$y=3x+6$。