题目
12.3个正数x,y和z的和为30,则3个数之积x·y·z的最大值为()。A. 30B. 10C. 100D. 1000
12.3个正数x,y和z的和为30,则3个数之积x·y·z的最大值为()。
A. 30
B. 10
C. 100
D. 1000
题目解答
答案
D. 1000
解析
步骤 1：确定条件
题目给出的条件是三个正数x, y, z的和为30，即x + y + z = 30。
步骤 2：应用算术平均数-几何平均数不等式
根据算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），对于任意非负实数a, b, c，有(a + b + c)/3 ≥ (abc)^(1/3)，等号成立当且仅当a = b = c。
将x, y, z代入，得到(x + y + z)/3 ≥ (xyz)^(1/3)。
由于x + y + z = 30，代入得到30/3 ≥ (xyz)^(1/3)，即10 ≥ (xyz)^(1/3)。
两边立方得到1000 ≥ xyz，即xyz的最大值为1000。
步骤 3：验证等号成立条件
等号成立当且仅当x = y = z，即x = y = z = 10。
此时，x + y + z = 30，且xyz = 1000，满足题目条件。
题目给出的条件是三个正数x, y, z的和为30，即x + y + z = 30。
步骤 2：应用算术平均数-几何平均数不等式
根据算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），对于任意非负实数a, b, c，有(a + b + c)/3 ≥ (abc)^(1/3)，等号成立当且仅当a = b = c。
将x, y, z代入，得到(x + y + z)/3 ≥ (xyz)^(1/3)。
由于x + y + z = 30，代入得到30/3 ≥ (xyz)^(1/3)，即10 ≥ (xyz)^(1/3)。
两边立方得到1000 ≥ xyz，即xyz的最大值为1000。
步骤 3：验证等号成立条件
等号成立当且仅当x = y = z，即x = y = z = 10。
此时，x + y + z = 30，且xyz = 1000，满足题目条件。