求极限 lim _(xarrow 0)[ dfrac (1)(x)-dfrac (1)({x)^2}ln (1+x)]

本题考查的知识点是极限的计算，解题思路是先判断极限类型，对于$\infty - \infty$型极限，通过通分将其转化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，然后再使用洛必达法则进行求解。

下面进行详细的解答：

1. 首先判断极限类型：
   当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to \infty$，$\frac{1}{x^2}\ln(1 + x) \to \infty$，所以$\lim _{x\rightarrow 0}[ \frac {1}{x}-\frac {1}{x^{2}}\ln (1+x)]$是$\infty - \infty$型极限，不能直接使用洛必达法则。
2. 然后进行通分：
   $\lim _{x\rightarrow 0}[ \frac {1}{x}-\frac {1}{x^{2}}\ln (1+x)]=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x - \ln(1 + x)}{x^2}$
   此时，当$x \to 0$时，分子$x - \ln(1 + x) \to 0$，分母$x^2 \to 0$，极限变为$\frac{0}{0}$型，可以使用洛必达法则。
3. 接着使用洛必达法则：
   对分子分母分别求导，根据求导公式$(X^n)^\prime = nX^{n - 1}$，$(\ln(1 + x))^\prime = \frac{1}{1 + x}$，可得：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x - \ln(1 + x)}{x^2}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{(x - \ln(1 + x))^\prime}{(x^2)^\prime}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1 - \frac{1}{1 + x}}{2x}$
4. 再对分子进行化简：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1 - \frac{1}{1 + x}}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1 + x - 1}{1 + x}}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x}{1 + x}}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x}{2x(1 + x)}$
5. 最后约去公因式并计算极限：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x}{2x(1 + x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{2(1 + x)}$
   将$x = 0$代入$\frac{1}{2(1 + x)}$，可得$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{2(1 + x)}=\frac{1}{2(1 + 0)}=\frac{1}{2}$。