题目

15.求极限lim_(xto0)((1)/(x)-(3)/(x^2)+3x).

15.求极限$\lim_{x\to0}(\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}+3x})$.

题目解答

答案

将原式通分，得
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2 + 3x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 3) - 3}{x(x + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x + 3)}.$
化简后得
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{3}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查分式极限的计算，重点在于通过通分化简消除不定型，转化为可直接代入的形式。

解题核心思路：
当直接代入导致分母为零时，需对表达式进行变形。本题通过通分将两个分式合并，化简后消去公共因子，最终转化为简单分式求极限。

破题关键点：

  1. 识别分母结构：第二个分母可分解为$x(x+3)$，便于通分。
  2. 正确通分与化简：合并分式后分子化简，约分消去$x$，避免直接代入时的未定型。

步骤1：通分合并分式
原式为$\frac{1}{x} - \frac{3}{x^2 + 3x}$，将第二个分母分解为$x(x+3)$，通分得：
$\frac{1}{x} - \frac{3}{x(x+3)} = \frac{x+3}{x(x+3)} - \frac{3}{x(x+3)}.$

步骤2：合并分子并化简
分子相减：
$(x+3) - 3 = x,$
因此表达式变为：
$\frac{x}{x(x+3)}.$

步骤3：约分并求极限
约去分子与分母的公共因子$x$（注意$x \neq 0$）：
$\frac{1}{x+3}.$
当$x \to 0$时，直接代入得：
$\frac{1}{0 + 3} = \frac{1}{3}.$