4.设f(x)在 x=1 的某个领域内有定义,若 lim _(xarrow 1)dfrac (f(x)-f(1))({(x-1))^2}=-2, 则在 x=1 处-|||-()-|||-A.f(x)的导数存在且 '(1)neq 0 B.f(x)的导数不存在-|||-C.f(x)取得极小值 D.f(x)取得极大值

考查要点：本题主要考查导数的定义、极限运算与极值的判定，需要结合极限形式推断函数在某点的导数存在性及极值情况。

解题核心思路：

1. 导数定义：若$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$存在，则$f'(1)$存在。
2. 极限变形：题目给出的极限形式为$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2} = -2$，需通过变形关联导数定义。
3. 关键推断：若上述极限存在且为有限值，则$f'(1)$必须为0（否则极限会发散）。进一步分析二阶导数或函数增量的主部，判断极值类型。

破题关键点：

• 导数存在性：通过极限形式推断$f'(1)=0$。
• 极值判定：利用函数增量的主部符号（由极限值确定）判断极值类型。

步骤1：分析导数存在性
根据导数定义，若$f'(1)$存在，则：
$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}.$
题目给出的极限为：
$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2} = -2.$
将原式拆分为：
$\lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \cdot \frac{1}{x-1} \right] = -2.$
若$f'(1) \neq 0$，则$\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \to f'(1)$，而$\frac{1}{x-1}$趋向无穷，矛盾。因此必须$f'(1)=0$。

步骤2：分析二阶导数或函数增量主部
假设$f(x)$在$x=1$附近可展开为：
$f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2 + o((x-1)^2).$
代入原极限：
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2}f''(1)(x-1)^2 + o((x-1)^2)}{(x-1)^2} = \frac{1}{2}f''(1) = -2.$
解得$f''(1) = -4 < 0$，根据极值第二充分条件，$x=1$是极大值点。