题目
5.[单选题]L-|||-为顺时针方向的椭圆-|||-dfrac ({x)^2}({2)^2}+(y)^2=1-|||-其周长为-|||-l-|||-则-|||-_(2)(xy+(x)^2+4(y)^2)ds=-|||-()()-|||-bigcirc A.0-|||-bigcirc B.l-|||-bigcirc C.21-|||-bigcirc D.41
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化椭圆
椭圆 $\dfrac{x^2}{2^2} + y^2 = 1$ 可以参数化为 $x = 2\cos t$ 和 $y = \sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2：计算弧长微分 $ds$
根据参数化，$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (\cos t)^2} dt = \sqrt{4\sin^2 t + \cos^2 t} dt$。
步骤 3：计算积分
将 $x = 2\cos t$ 和 $y = \sin t$ 代入积分 ${\int }_{-2}^{x}(xy+{x}^{2}+4{y}^{2})ds$，得到 ${\int }_{0}^{2\pi} (2\cos t \sin t + 4\cos^2 t + 4\sin^2 t) \sqrt{4\sin^2 t + \cos^2 t} dt$。
步骤 4：简化积分
注意到 $4\cos^2 t + 4\sin^2 t = 4$，因此积分简化为 ${\int }_{0}^{2\pi} (2\cos t \sin t + 4) \sqrt{4\sin^2 t + \cos^2 t} dt$。
步骤 5：计算积分值
由于 $2\cos t \sin t$ 的积分在 $0$ 到 $2\pi$ 上为 $0$，因此积分值为 ${\int }_{0}^{2\pi} 4 \sqrt{4\sin^2 t + \cos^2 t} dt = 4l$，其中 $l$ 是椭圆的周长。
椭圆 $\dfrac{x^2}{2^2} + y^2 = 1$ 可以参数化为 $x = 2\cos t$ 和 $y = \sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2：计算弧长微分 $ds$
根据参数化，$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (\cos t)^2} dt = \sqrt{4\sin^2 t + \cos^2 t} dt$。
步骤 3：计算积分
将 $x = 2\cos t$ 和 $y = \sin t$ 代入积分 ${\int }_{-2}^{x}(xy+{x}^{2}+4{y}^{2})ds$，得到 ${\int }_{0}^{2\pi} (2\cos t \sin t + 4\cos^2 t + 4\sin^2 t) \sqrt{4\sin^2 t + \cos^2 t} dt$。
步骤 4：简化积分
注意到 $4\cos^2 t + 4\sin^2 t = 4$，因此积分简化为 ${\int }_{0}^{2\pi} (2\cos t \sin t + 4) \sqrt{4\sin^2 t + \cos^2 t} dt$。
步骤 5：计算积分值
由于 $2\cos t \sin t$ 的积分在 $0$ 到 $2\pi$ 上为 $0$，因此积分值为 ${\int }_{0}^{2\pi} 4 \sqrt{4\sin^2 t + \cos^2 t} dt = 4l$，其中 $l$ 是椭圆的周长。