下列叙述正确的是（ ）A. 一个无穷小除以一个非零的有界函数仍是无穷小。B. 一个无穷大除以一个非零的有界函数仍是无穷大C. 两个无穷大的和仍是无穷大。D. 若 lim_(x to x_0) [f(x) + g(x)] 存在，则 lim_(x to x_0) f(x) 与 lim_(x to x_0) g(x) 都存在。
A. 一个无穷小除以一个非零的有界函数仍是无穷小。
B. 一个无穷大除以一个非零的有界函数仍是无穷大
C. 两个无穷大的和仍是无穷大。
D. 若 $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)]$ 存在，则 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 与 $\lim_{x \to x_0} g(x)$ 都存在。
题目解答
答案
答案：A
解析：
A. 无穷小除以非零有界函数
无穷小 $f(x)$（即 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$）除以非零有界函数 $g(x)$（即存在 $M > 0$ 使 $|g(x)| \leq M$），结果仍为无穷小。因为有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$。
正确。
B. 无穷大除以非零有界函数
无穷大 $f(x)$（即 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$）除以非零有界函数 $g(x)$，结果不一定为无穷大。例如，若 $g(x)$ 在 $x_0$ 附近取值接近零，$\frac{f(x)}{g(x)}$ 可能无极限。
错误。
C. 两个无穷大的和
两个无穷大 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的和不一定为无穷大。例如，若 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 和 $g(x) = -\frac{1}{x^2}$，则 $f(x) + g(x) = 0$，为有限值。
错误。
D. 和的极限存在时，各函数极限存在
若 $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)]$ 存在，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限不一定存在。例如，$f(x) = \frac{1}{x}$ 和 $g(x) = -\frac{1}{x}$，和的极限为0，但 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限均不存在（为无穷大）。
错误。
结论： 正确选项为 $\boxed{A}$。
解析
本题考查极限的运算性质，特别是无穷小、无穷大以及极限存在性的相关定理。解题关键在于：
- 无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小；
- 无穷大与有界函数的商不一定保持无穷大；
- 两个无穷大的和可能抵消为有限值；
- 和的极限存在不能保证各部分极限存在。
选项A
无穷小除以非零有界函数仍是无穷小
设$f(x)$为无穷小（$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$），$g(x)$为非零有界函数（存在$M > 0$，使得$|g(x)| \leq M$）。
则$\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}$。
由于$g(x)$非零且有界，$\frac{1}{g(x)}$仍为有界函数，故$f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}$为无穷小乘以有界函数，结果仍为无穷小。
结论：正确。
选项B
无穷大除以非零有界函数仍是无穷大
设$f(x)$为无穷大（$\lim_{x \to x_0} |f(x)| = +\infty$），$g(x)$为非零有界函数。
若$g(x)$在$x_0$附近趋近于零（如$g(x) = x$），则$\frac{f(x)}{g(x)}$可能趋向于正无穷或负无穷，但若$g(x)$符号震荡（如$g(x) = \sin x$），则$\frac{f(x)}{g(x)}$可能无极限。
结论：错误。
选项C
两个无穷大的和仍是无穷大
反例：$f(x) = \frac{1}{x^2}$（正无穷大），$g(x) = -\frac{1}{x^2}$（负无穷大），则$f(x) + g(x) = 0$，和为有限值。
结论：错误。
选项D
和的极限存在则各部分极限存在
反例：$f(x) = \frac{1}{x}$，$g(x) = -\frac{1}{x}$，则$\lim_{x \to 0} [f(x) + g(x)] = 0$存在，但$\lim_{x \to 0} f(x)$与$\lim_{x \to 0} g(x)$均不存在。
结论：错误。