题目
1.求下列微分方程的通解:-|||-(8) ln ydx+(x-ln y)dy=0; ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：将原方程写成标准形式
原方程为 $y\ln ydx+(x-\ln y)dy=0$，可以写成 $\dfrac{dx}{dy}+\dfrac{1}{y\ln y}x=\dfrac{1}{y}$ 的形式，这是一个一阶线性微分方程。
步骤 2：求解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式为 $\dfrac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$，其中 $P(y)=\dfrac{1}{y\ln y}$，$Q(y)=\dfrac{1}{y}$。其通解为 $x=e^{-\int P(y)dy}(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C)$。
步骤 3：计算积分
首先计算 $\int P(y)dy=\int \dfrac{1}{y\ln y}dy$，令 $u=\ln y$，则 $du=\dfrac{1}{y}dy$，所以 $\int \dfrac{1}{y\ln y}dy=\int \dfrac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln|\ln y|+C$。然后计算 $e^{-\int P(y)dy}=e^{-\ln|\ln y|}=\dfrac{1}{|\ln y|}$。接着计算 $\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy=\int \dfrac{1}{y}e^{\ln|\ln y|}dy=\int \dfrac{1}{y}|\ln y|dy$。由于 $y>0$，所以 $|\ln y|=\ln y$，因此 $\int \dfrac{1}{y}\ln ydy=\int \ln y d(\ln y)=\dfrac{1}{2}\ln^2 y+C$。
步骤 4：代入通解公式
将上述结果代入通解公式，得到 $x=\dfrac{1}{|\ln y|}(\dfrac{1}{2}\ln^2 y+C)=\dfrac{1}{2}\ln y+\dfrac{C}{\ln y}$。由于 $C$ 是任意常数，可以写成 $C_1$，所以通解为 $x=\dfrac{1}{2}\ln y+\dfrac{C_1}{\ln y}$。
原方程为 $y\ln ydx+(x-\ln y)dy=0$，可以写成 $\dfrac{dx}{dy}+\dfrac{1}{y\ln y}x=\dfrac{1}{y}$ 的形式，这是一个一阶线性微分方程。
步骤 2：求解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式为 $\dfrac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$，其中 $P(y)=\dfrac{1}{y\ln y}$，$Q(y)=\dfrac{1}{y}$。其通解为 $x=e^{-\int P(y)dy}(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C)$。
步骤 3：计算积分
首先计算 $\int P(y)dy=\int \dfrac{1}{y\ln y}dy$，令 $u=\ln y$，则 $du=\dfrac{1}{y}dy$，所以 $\int \dfrac{1}{y\ln y}dy=\int \dfrac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln|\ln y|+C$。然后计算 $e^{-\int P(y)dy}=e^{-\ln|\ln y|}=\dfrac{1}{|\ln y|}$。接着计算 $\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy=\int \dfrac{1}{y}e^{\ln|\ln y|}dy=\int \dfrac{1}{y}|\ln y|dy$。由于 $y>0$，所以 $|\ln y|=\ln y$，因此 $\int \dfrac{1}{y}\ln ydy=\int \ln y d(\ln y)=\dfrac{1}{2}\ln^2 y+C$。
步骤 4：代入通解公式
将上述结果代入通解公式，得到 $x=\dfrac{1}{|\ln y|}(\dfrac{1}{2}\ln^2 y+C)=\dfrac{1}{2}\ln y+\dfrac{C}{\ln y}$。由于 $C$ 是任意常数，可以写成 $C_1$，所以通解为 $x=\dfrac{1}{2}\ln y+\dfrac{C_1}{\ln y}$。