题目
3、{}x-y+z=12x+y+z=4.的方程分别是:点向式方程为:(x)/(-2)=(y)/(1)=(z-1)/(3)参数方程为:{}x=-2ky=kz=3k+1.一般方程为:{}(x)/(-2)=(y)/(1) (y)/(1)=(z-1)/(3).√ 对× 错
3、$\left\{\begin{matrix}x-y+z=1\\2x+y+z=4\end{matrix}\right.$的方程分别是:
点向式方程为:$\frac{x}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{3}$
参数方程为:$\left\{\begin{matrix}x=-2k\\y=k\\z=3k+1\end{matrix}\right.$
一般方程为:$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{-2}=\frac{y}{1}\\ \frac{y}{1}=\frac{z-1}{3}\end{matrix}\right.$
√ 对
× 错
题目解答
答案
将方程组转换为点向式方程，需找到直线上一点和方向向量。
1. **求解方程组**：
消去 $y$ 和 $z$，得 $x = \frac{5 - 2z}{3}$，$y = \frac{z + 2}{3}$。
2. **确定点和方向向量**：
取 $z = 1$，得点 $(1, 1, 1)$，方向向量为 $(-1, 1, 3)$。
点向式方程应为 $\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{3}$。
3. **与给定方程比较**：
给定方程 $\frac{x}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{3}$ 对应点 $(0, 0, 1)$，但该点不满足原方程组。
**答案**：
\[
\boxed{\text{×}}
\]
解析
步骤 1：求解方程组
我们首先解方程组 $\left\{\begin{matrix}x-y+z=1\\2x+y+z=4\end{matrix}\right.$。将两个方程相加，消去 $y$，得到 $3x + 2z = 5$。然后，将第一个方程乘以2，得到 $2x - 2y + 2z = 2$，与第二个方程相减，消去 $z$，得到 $-3y = -2$，从而 $y = \frac{2}{3}$。将 $y$ 的值代入 $3x + 2z = 5$，得到 $3x + 2z = 5$。由于我们有两个未知数和一个方程，我们可以选择 $z$ 作为自由变量，设 $z = t$，则 $x = \frac{5 - 2t}{3}$。因此，方程组的解可以表示为 $\left\{\begin{matrix}x=\frac{5-2t}{3}\\y=\frac{2}{3}\\z=t\end{matrix}\right.$。
步骤 2：确定点和方向向量
从方程组的解中，我们可以看出直线的方向向量为 $(-2, 0, 3)$，因为 $x$ 和 $z$ 的系数分别是 $-2$ 和 $3$。为了找到直线上的一个点，我们可以选择 $t = 1$，得到点 $(1, \frac{2}{3}, 1)$。
步骤 3：与给定方程比较
给定的点向式方程为 $\frac{x}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{3}$，对应的点为 $(0, 0, 1)$，方向向量为 $(-2, 1, 3)$。然而，点 $(0, 0, 1)$ 不满足原方程组，因为将 $x = 0$，$y = 0$，$z = 1$ 代入方程组，得到 $0 - 0 + 1 = 1$ 和 $2 \cdot 0 + 0 + 1 = 1$，这与原方程组的第二个方程 $2x + y + z = 4$ 不一致。因此，给定的方程不正确。
我们首先解方程组 $\left\{\begin{matrix}x-y+z=1\\2x+y+z=4\end{matrix}\right.$。将两个方程相加，消去 $y$，得到 $3x + 2z = 5$。然后，将第一个方程乘以2，得到 $2x - 2y + 2z = 2$，与第二个方程相减，消去 $z$，得到 $-3y = -2$，从而 $y = \frac{2}{3}$。将 $y$ 的值代入 $3x + 2z = 5$，得到 $3x + 2z = 5$。由于我们有两个未知数和一个方程，我们可以选择 $z$ 作为自由变量，设 $z = t$，则 $x = \frac{5 - 2t}{3}$。因此，方程组的解可以表示为 $\left\{\begin{matrix}x=\frac{5-2t}{3}\\y=\frac{2}{3}\\z=t\end{matrix}\right.$。
步骤 2：确定点和方向向量
从方程组的解中，我们可以看出直线的方向向量为 $(-2, 0, 3)$，因为 $x$ 和 $z$ 的系数分别是 $-2$ 和 $3$。为了找到直线上的一个点，我们可以选择 $t = 1$，得到点 $(1, \frac{2}{3}, 1)$。
步骤 3：与给定方程比较
给定的点向式方程为 $\frac{x}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{3}$，对应的点为 $(0, 0, 1)$，方向向量为 $(-2, 1, 3)$。然而，点 $(0, 0, 1)$ 不满足原方程组，因为将 $x = 0$，$y = 0$，$z = 1$ 代入方程组，得到 $0 - 0 + 1 = 1$ 和 $2 \cdot 0 + 0 + 1 = 1$，这与原方程组的第二个方程 $2x + y + z = 4$ 不一致。因此，给定的方程不正确。