设A,B为同阶方阵,且满足 ((AB))^2=E ,则下列选项一定正确的是 ()-|||-(A) AB=E ; (B) BA=E ; (C) ^-1=BAB ; (D) ^-1=B 。

本题主要考察矩阵运算及逆矩阵的性质，关键在于分析题目给出的条件$(AB)^2 = E$（即$ABAB = E$)），并据此判断各选项的正确性。

选项A：$AB = E\bold{E}$

$(ABAB)^2 = E$仅说明$AB$是幂等矩阵且平方为单位阵，但幂等矩阵平方为单位时不一定等于单位矩阵本身。例如，设$AB = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，则$(AB)^2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E$，但$AB\neq E$。故A错误。

选项B：$BA = E$

仅仅由$ABAB = E$无法推出$BA = E$。例如，取$A = \begin{pmatrix} {cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}$，$B = A^3$，则$AB = A^4 = E$，$(AB)^2 = E$，但$BA = A^3A = A^4 = E$？哦，此例不成立，换个例子：设$A = \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$，则$AB = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$，$(AB)^2 = E$，但$BA = \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\neq E$。故B错误。

选项C：$A^{-1} = BAB$

由$ABAB = E$，根据逆矩阵定义：若$左乘\(A$右乘$B$？)等式$ABAB = E$两边左乘$A\(A^{-1}$？不，直接看：$A(BAB) = ABAB = E$，且$(B{BABAB)B = ABAB = E$，故$BAB$是$A$的逆矩阵，即$A^{-1} = BAB$。故C正确**。

选项D：$A^{-1} = B$

若$A^{-1} = B$，则$AB = E$，但由$(AB)^2 = E$无法推出$AB = E$（如前例$AB = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$），故D错误。