题目

5.f(x)是(-∞,+∞)上的连续周期函数，f(x)在(-∞,+∞)一定有界，对吗?

题目解答

答案

设 $ f(x) $ 是定义在 $ (-\infty, +\infty) $ 上的连续周期函数，周期为 $ T > 0 $。对于任意 $ x \in (-\infty, +\infty) $，可表示为 $ x = nT + r $，其中 $ n \in \mathbb{Z} $，$ r \in [0, T) $。由周期性，$ f(x) = f(r) $。由于 $ f(x) $ 在闭区间 $ [0, T] $ 上连续，根据闭区间连续函数的有界性，存在 $ M > 0 $，使得 $ |f(r)| \leq M $ 对所有 $ r \in [0, T] $ 成立。因此，对于任意 $ x \in (-\infty, +\infty) $，有 $ |f(x)| = |f(r)| \leq M $，即 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上有界。结论：正确。答案：正确。

解析

考查要点：本题主要考查连续周期函数的有界性，涉及周期函数的性质和连续函数在闭区间上的有界性定理。

解题核心思路：

周期性将整个实数范围上的函数值限制在某一固定区间（如$[0, T]$）内；
连续性保证函数在该闭区间上有界；
结合周期性，将局部有界性推广到整个实数范围。

破题关键点：

明确周期函数的定义，理解任意$x$可表示为$x = nT + r$（$r \in [0, T)$）；
利用连续函数在闭区间$[0, T]$上的有界性，得出全局有界性。

步骤1：利用周期性限制函数值范围
设$f(x)$的周期为$T > 0$，则对任意$x \in (-\infty, +\infty)$，存在整数$n$和$r \in [0, T)$，使得$x = nT + r$。根据周期性，$f(x) = f(r)$，即函数值完全由$r$在$[0, T)$内的部分决定。

步骤2：应用连续函数的有界性定理
函数$f(x)$在闭区间$[0, T]$上连续，根据连续函数在闭区间上有界的定理，存在常数$M > 0$，使得对所有$r \in [0, T]$，有$|f(r)| \leq M$。

步骤3：推广到全体实数
对任意$x \in (-\infty, +\infty)$，有$|f(x)| = |f(r)| \leq M$，因此$f(x)$在全体实数范围内有界。