题目

如果f(x_(0))=5，但f(x_(0)-0)=f(x_(0)+0)=4，则lim_(xto x_{0)}f(x)不存在。（） bigcirc正确 bigcirc错误

如果$f(x_{0})=5$，但$f(x_{0}-0)=f(x_{0}+0)=4$，则$\lim_{x\to x_{0}}f(x)$不存在。（） $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

函数在 $x_0$ 处的极限存在当且仅当左极限和右极限相等。已知 $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = 4$，即左极限和右极限均为 4，因此 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 4$。函数值 $f(x_0) = 5$ 与极限值无关，不影响极限的存在性。 故题目说法错误。 答案：$\boxed{\text{错误}}$

解析

考查要点：本题主要考查函数极限存在的条件，特别是左右极限与函数值之间的关系。

解题核心思路：
函数在某点的极限存在当且仅当左极限和右极限存在且相等，与函数在该点的函数值无关。题目中给出左极限和右极限均为4，因此极限存在且等于4，而函数值为5并不影响极限的存在性。

破题关键点：

  1. 明确极限与函数值的关系：极限只与函数在点附近的行为有关，与函数在该点的值无关。
  2. 左右极限相等的判断：若左右极限相等，则极限存在；否则极限不存在。

根据极限的定义：

  1. 左极限与右极限的计算：题目中给出$f(x_0 - 0) = 4$和$f(x_0 + 0) = 4$，即左极限和右极限均为4。
  2. 判断极限是否存在：因为左极限和右极限相等（均为4），所以$\lim_{x \to x_0} f(x) = 4$。
  3. 函数值的影响：函数值$f(x_0) = 5$与极限无关，仅说明函数在$x_0$处可能不连续，但不影响极限的存在性。

因此，题目中“极限不存在”的说法是错误的。