题目
(int )_(-2)^2(x-2)sqrt (4-{x)^2}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离积分
将积分式分离为两个积分，即
${\int }_{-2}^{2}(x-2)\sqrt {4-{x}^{2}}dx = {\int }_{-2}^{2}x\sqrt {4-{x}^{2}}dx - 2{\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$.
步骤 2：计算第一个积分
第一个积分${\int }_{-2}^{2}x\sqrt {4-{x}^{2}}dx$，由于被积函数$x\sqrt {4-{x}^{2}}$是奇函数，且积分区间$[-2,2]$关于原点对称，因此该积分值为0。
步骤 3：计算第二个积分
第二个积分$-2{\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$，被积函数$\sqrt {4-{x}^{2}}$是偶函数，且积分区间$[-2,2]$关于原点对称，因此可以将积分区间缩小为$[0,2]$，并乘以2，即$-2{\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx = -4{\int }_{0}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$。该积分表示的是半径为2的半圆的面积，因此其值为$-4\cdot\frac{1}{2}\pi\cdot2^2 = -4\pi$。
将积分式分离为两个积分，即
${\int }_{-2}^{2}(x-2)\sqrt {4-{x}^{2}}dx = {\int }_{-2}^{2}x\sqrt {4-{x}^{2}}dx - 2{\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$.
步骤 2：计算第一个积分
第一个积分${\int }_{-2}^{2}x\sqrt {4-{x}^{2}}dx$，由于被积函数$x\sqrt {4-{x}^{2}}$是奇函数，且积分区间$[-2,2]$关于原点对称，因此该积分值为0。
步骤 3：计算第二个积分
第二个积分$-2{\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$，被积函数$\sqrt {4-{x}^{2}}$是偶函数，且积分区间$[-2,2]$关于原点对称，因此可以将积分区间缩小为$[0,2]$，并乘以2，即$-2{\int }_{-2}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx = -4{\int }_{0}^{2}\sqrt {4-{x}^{2}}dx$。该积分表示的是半径为2的半圆的面积，因此其值为$-4\cdot\frac{1}{2}\pi\cdot2^2 = -4\pi$。