[例1](1)(2021·东北五校联合-|||-模拟考试)祖冲之是中国南北朝时期著名-|||-的数学家,其最伟大的贡献是将圆周率精-|||-确到小数点之后的七位,比欧洲早了近千-|||-年.为探究圆周率的计算,某数学兴趣小-|||-组在正三角形中随机撒一把豆子,用随机模拟的方法估算圆-|||-周率π的值.如图,正三角形的边长为4,若豆子总数 n=-|||-1000,其中落在正三角形内切圆内的豆子数 m=606 ,则估-|||-算圆周率π的值是( sqrt (3)approx 1.732 ,结果精确到0.01) ()-|||-A.3.13 B.3.14-|||-C.3.15 D.3.16-|||-(2)(2021·浙江高考)我国古代数-|||-学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证-|||-明,弦图是由四个全等的直角三角形和-|||-中间的一个小正方形拼成的一个大正方-|||-形(如图所示).若直角三角形直角边的-|||-长分别为3,4,记大正方形的面积为S1,-|||-小正方形的面积为S2,则 dfrac ({S)_(1)}({S)_(2)}= __

（1）几何概型与圆周率估算
本题通过几何概型的概率公式，利用豆子落在内切圆的比例估算圆周率π。核心思路是将概率转化为面积比，需计算正三角形内切圆面积与正三角形面积的比值。关键点在于正确求出内切圆半径，并代入公式求解。

（2）勾股定理与弦图面积比
本题考查勾股定理及图形面积计算。核心思路是通过直角三角形的边长确定大正方形边长，再利用总面积减去四个三角形面积得到小正方形面积。关键点是理解弦图的构成，正确计算各部分面积。

第（1）题

求内切圆半径

正三角形边长为4，内切圆半径公式为 $r = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a$，代入得：
$r = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \times 4 = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

计算面积比

• 内切圆面积：$\pi r^2 = \pi \left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \dfrac{4\pi}{3}$
• 正三角形面积：$\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$
• 面积比：$\dfrac{\dfrac{4\pi}{3}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$

建立概率方程

根据几何概型，豆子比例 $\dfrac{m}{n} = \dfrac{606}{1000}$ 等于面积比：
$\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}} = \dfrac{606}{1000}$
解得：
$\pi = \dfrac{606 \times 3\sqrt{3}}{1000} \approx \dfrac{606 \times 5.196}{1000} \approx 3.15$

第（2）题

求大正方形面积

直角三角形斜边长为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，故大正方形面积：
$S_1 = 5^2 = 25$

求小正方形面积

四个三角形总面积：$4 \times \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 24$
小正方形面积：
$S_2 = S_1 - 24 = 25 - 24 = 1$

求比值

$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{25}{1} = 25$