题目
【题目】y0图5.2设二维随机变量(X,Y)服从在区域D上的均匀分布,其中区域D为x轴、y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域(见图5.2).求:(1)(X,Y)的联合密度函数;(2)P(-1/4X0,0Y1/4) (3)关于X及关于Y的边缘密度函数;(4)X与Y是否独立,为什么?
【题目】y0图5.2设二维随机变量(X,Y)服从在区域D上的均匀分布,其中区域D为x轴、y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域(见图5.2).求:(1)(X,Y)的联合密度函数;(2)P(-1/4X0,0Y1/4) (3)关于X及关于Y的边缘密度函数;(4)X与Y是否独立,为什么?
题目解答
答案
【解析】解(1)(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=4,x,y)∈D;0,x+1. lo，其他2P(-1/4X0,0Y1/4)=(1/4*1/4)/(1/2*1/2)=1/4 (3)关于X及关于Y的边缘密度函数分别为f_x(x)=4∫_0^(2x+1)dy=4(2x+1),-1/2x 0f_Y(y)=4∫_((x-1)/^0)2dx=2(1-y),0y 1.4)不独立.因为f(-1/4,1/4)=4 4,而f_X(-1/4)=4(-2*1/4+1)=2 . f_Y(1/4)=2(i-1/4)=3/2所以f(-1/4,1/4)=4≠2*3/2=f_X(-1/4)F_Y(1/4)
解析
步骤 1：确定联合密度函数
区域D由x轴、y轴及直线y=2x+1围成，这是一个三角形区域。三角形的顶点为(0,0)，(0,1)，(-1/2,0)。三角形的面积为1/2*1*1/2=1/4。因为(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，所以联合密度函数为f(x,y)=4，当(x,y)∈D；否则为0。
步骤 2：计算概率P(-1/4X0,0Y1/4)
P(-1/4X0,0Y1/4)是区域D中x轴、y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域中，x在-1/4到0之间，y在0到1/4之间的概率。这个区域的面积为1/4*1/4=1/16。因为(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，所以P(-1/4X0,0Y1/4)=1/16/1/4=1/4。
步骤 3：计算边缘密度函数
关于X的边缘密度函数为f_X(x)=∫_0^(2x+1)4dy=4(2x+1)，当-1/2≤x≤0；否则为0。
关于Y的边缘密度函数为f_Y(y)=∫_((y-1)/2)^04dx=2(1-y)，当0≤y≤1；否则为0。
步骤 4：判断X与Y是否独立
X与Y独立的充要条件是f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)。但是f(-1/4,1/4)=4，而f_X(-1/4)=4(-2*1/4+1)=2，f_Y(1/4)=2(1-1/4)=3/2，所以f(-1/4,1/4)≠f_X(-1/4)f_Y(1/4)，因此X与Y不独立。
区域D由x轴、y轴及直线y=2x+1围成，这是一个三角形区域。三角形的顶点为(0,0)，(0,1)，(-1/2,0)。三角形的面积为1/2*1*1/2=1/4。因为(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，所以联合密度函数为f(x,y)=4，当(x,y)∈D；否则为0。
步骤 2：计算概率P(-1/4X0,0Y1/4)
P(-1/4X0,0Y1/4)是区域D中x轴、y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域中，x在-1/4到0之间，y在0到1/4之间的概率。这个区域的面积为1/4*1/4=1/16。因为(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，所以P(-1/4X0,0Y1/4)=1/16/1/4=1/4。
步骤 3：计算边缘密度函数
关于X的边缘密度函数为f_X(x)=∫_0^(2x+1)4dy=4(2x+1)，当-1/2≤x≤0；否则为0。
关于Y的边缘密度函数为f_Y(y)=∫_((y-1)/2)^04dx=2(1-y)，当0≤y≤1；否则为0。
步骤 4：判断X与Y是否独立
X与Y独立的充要条件是f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)。但是f(-1/4,1/4)=4，而f_X(-1/4)=4(-2*1/4+1)=2，f_Y(1/4)=2(1-1/4)=3/2，所以f(-1/4,1/4)≠f_X(-1/4)f_Y(1/4)，因此X与Y不独立。