题目

int xln (x-1)dx;

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题目解答

答案

       

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解析

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对有理分式的分解与积分能力。
解题核心思路：

  1. 选择合适的分部积分变量：将$\ln(x-1)$设为$u$，$x\,dx$设为$dv$，简化后续积分步骤。
  2. 处理复杂分式：对分式$\frac{x^2}{x-1}$进行多项式除法分解，转化为简单分式的和，便于逐项积分。
    破题关键点：
  • 分部积分后的简化：通过分解分式，避免直接积分高次分式带来的复杂计算。
  • 符号与系数的精确处理：注意分部积分公式中的负号及各步骤中的系数分配。

分部积分法应用

  1. 设变量：令$u = \ln(x-1)$，则$du = \frac{1}{x-1}dx$；令$dv = x\,dx$，则$v = \frac{1}{2}x^2$。
  2. 分部积分公式：
    $\int x\ln(x-1)dx = \frac{1}{2}x^2\ln(x-1) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x-1}dx$

分式分解与积分

  1. 分解分式：将$\frac{x^2}{x-1}$分解为多项式与简单分式的和：
    $\frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}$
  2. 逐项积分：
    $\int \frac{x^2}{x-1}dx = \int (x + 1 + \frac{1}{x-1})dx = \frac{1}{2}x^2 + x + \ln|x-1| + C$

合并结果

  1. 代入分部积分结果：
    $\begin{aligned} \int x\ln(x-1)dx &= \frac{1}{2}x^2\ln(x-1) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x^2 + x + \ln|x-1|\right) + C \\ &= \frac{1}{2}x^2\ln(x-1) - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln|x-1| + C \end{aligned}$