题目

设随机变量X的概率密度为 f(x)=}ax, & 0leqslant x<1,b(x-1), & 1leqslant xleqslant 3,0, & 其他, 若E(X)=(3)/(2)，则常数a,b的值分别为() A. (1)/(2),(3)/(8) B. (2)/(3),(1)/(3) C. (3)/(2),(1)/(8) D. 1,(1)/(4)

设随机变量X的概率密度为 $f(x)=\begin{cases}ax, & 0\leqslant x<1,\\b(x-1), & 1\leqslant x\leqslant 3,\\0, & 其他,\end{cases}$ 若$E(X)=\frac{3}{2}$，则常数a,b的值分别为()
A. $\frac{1}{2},\frac{3}{8}$
B. $\frac{2}{3},\frac{1}{3}$
C. $\frac{3}{2},\frac{1}{8}$
D. 1,$\frac{1}{4}$

题目解答

答案

为了确定常数 $a$ 和 $b$ 的值，我们需要使用概率密度函数的两个性质：概率密度函数在所有可能值上的积分等于1，以及随机变量 $X$ 的期望值 $E(X)$ 给定为 $\frac{3}{2}$。 ### 步骤1：概率密度函数的积分等于1 概率密度函数 $f(x)$ 在所有可能值上的积分必须等于1。因此，我们有： \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \] 由于 $f(x)$ 在 $0 \leq x < 1$ 和 $1 \leq x \leq 3$ 之外为0，积分简化为： \[ \int_0^1 ax \, dx + \int_1^3 b(x-1) \, dx = 1 \] 首先，计算 $\int_0^1 ax \, dx$： \[ \int_0^1 ax \, dx = a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = a \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{a}{2} \] 接下来，计算 $\int_1^3 b(x-1) \, dx$： \[ \int_1^3 b(x-1) \, dx = b \left[ \frac{(x-1)^2}{2} \right]_1^3 = b \left( \frac{(3-1)^2}{2} - \frac{(1-1)^2}{2} \right) = b \left( \frac{4}{2} - 0 \right) = 2b \] 将这两个结果相加，得到： \[ \frac{a}{2} + 2b = 1 \quad \text{(方程1)} \] ### 步骤2：期望值 $E(X)$ 随机变量 $X$ 的期望值 $E(X)$ 给定为： \[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \frac{3}{2} \] 再次，由于 $f(x)$ 在 $0 \leq x < 1$ 和 $1 \leq x \leq 3$ 之外为0，积分简化为： \[ \int_0^1 x \cdot ax \, dx + \int_1^3 x \cdot b(x-1) \, dx = \frac{3}{2} \] 首先，计算 $\int_0^1 x \cdot ax \, dx$： \[ \int_0^1 ax^2 \, dx = a \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = a \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{a}{3} \] 接下来，计算 $\int_1^3 x \cdot b(x-1) \, dx$： \[ \int_1^3 bx(x-1) \, dx = b \int_1^3 (x^2 - x) \, dx = b \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = b \left( \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) \right) \] \[ = b \left( \left( 9 - \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) \right) = b \left( \frac{18}{2} - \frac{9}{2} - \left( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} \right) \right) = b \left( \frac{9}{2} + \frac{1}{6} \right) = b \left( \frac{27}{6} + \frac{1}{6} \right) = b \cdot \frac{28}{6} = \frac{14b}{3} \] 将这两个结果相加，得到： \[ \frac{a}{3} + \frac{14b}{3} = \frac{3}{2} \quad \text{(方程2)} \] ### 步骤3：解方程组 我们有两个方程： 1. $\frac{a}{2} + 2b = 1$ 2. $\frac{a}{3} + \frac{14b}{3} = \frac{3}{2}$ 将方程1乘以6，方程2乘以6，以消除分母： 1. $3a + 12b = 6$ 2. $2a + 28b = 9$ 将方程1乘以2，方程2乘以3，以使 $a$ 的系数相同： 1. $6a + 24b = 12$ 2. $6a + 84b = 27$ 从方程2中减去方程1： \[ (6a + 84b) - (6a + 24b) = 27 - 12 \] \[ 60b = 15 \] \[ b = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \] 将 $b = \frac{1}{4}$ 代入方程1： \[ 3a + 12 \cdot \frac{1}{4} = 6 \] \[ 3a + 3 = 6 \] \[ 3a = 3 \] \[ a = 1 \] 因此，常数 $a$ 和 $b$ 的值分别为 $1$ 和 $\frac{1}{4}$。正确答案是： \[ \boxed{D} \]

解析

本题主要考察利用概率密度函数的性质（积分等于1）和期望值公式求解未知参数$a$和$b$，具体步骤如下：

步骤1：利用概率密度函数积分等于1列方程

概率密度函数$f(x)$在全定义域的积分必为1，即：
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \int_0^1 axdx + \int_1^3 b(x-1)dx = 1$

  • 计算$\int_0^1 axdx$：
    $\int_0^1 axdx = a\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{a}{2}$
  • 计算$\int_1^3 b(x-1)dx$：
    $\int_1^3 b(x-1)dx = b\left[\frac{(x-1)^2}{2}\right]_1^3 = b\left(\frac{4}{2} - 0\right) = 2b$
    联立得方程1：
    $\frac{a}{2} + 2b = 1 \quad \Rightarrow \quad 3a + 12b = 6 \quadquad (\text{乘以6消分母})$

步骤2：利用期望值$E(X)=\frac{3}{2}$列方程

期望值公式为：
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx = \int_0^1 ax^2dx + \int_1^3 bx(x-1)dx = \frac{3}{2}$

  • 计算$\int_0^1 ax^2dx$：
    $\int_0^1 ax^2dx = a\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{a}{3}$
  • 计算$\int_1^3 bx(x-1)dx$：
    $\int_1^3 b(x^2 - x)dx = b\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = b\left(\left(9 - \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right)\right) = \frac{14b}{3} }$
    联立得方程2：
    $\frac{a}{3} + \frac{14b}{3} = \frac{frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad 2a + 28b = 9 \quad (\text{乘以消分母})$

步骤3：解方程组

联立方程1和方程2：
$\begin{cases}3a + 12b = 6 \\2a + 28b = 9\end{cases}$

  • 消去$a$：方程1乘2、方程2乘3得：
    $\begin{cases}6a + 24b = 12 \\6a + 84b = 27\end{cases}$
  • 两式相减：$60b = 15 \Rightarrow b = \frac{1}{4}$
  • 代入$b=\\frac\frac{1}{4}$得：$3a + 12\times\frac{1}{4}=6 \Rightarrow a=1$