题目
如果函数z=f(x,y)在点z=f(x,y) 处连续, 则在该点处极限一定存在。A. 对B. 错
如果函数
在点
处连续, 则在该点处极限一定存在。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
首先，我们根据题目给出的条件，函数在点处连续。
第一步，根据连续性的定义，如果函数在某点连续，那么该点的极限值应该等于函数在该点的函数值。即，如果f(x, y)在处连续，那么应该有：
第二步，由于极限存在是函数连续的必要条件，因此如果函数在某点连续，那么该点的极限一定存在。这是因为如果极限不存在，那么函数在该点就无法取得确定的函数值，从而无法满足连续性的定义。
第三步，结合第一步和第二步的结论，我们可以得出：由于f(x, y)在处连续，那么在该点处的极限一定存在。
综上所述，本题的答案是A. 对。
解析
步骤 1：理解连续性的定义
函数z=f(x,y)在点$(x_0, y_0)$处连续，意味着当$(x,y)$趋近于$(x_0, y_0)$时，函数值$f(x,y)$趋近于$f(x_0, y_0)$。即，$\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)$。
步骤 2：分析连续性与极限的关系
根据连续性的定义，如果函数在某点连续，那么该点的极限值应该等于函数在该点的函数值。因此，如果函数z=f(x,y)在点$(x_0, y_0)$处连续，那么在该点处的极限一定存在，且等于$f(x_0, y_0)$。
步骤 3：应用到题目中的点$(x,0,y)$
题目中提到的点$(x,0,y)$，如果函数z=f(x,y)在该点连续，那么根据步骤2的分析，该点处的极限一定存在，且等于$f(x,0,y)$。
函数z=f(x,y)在点$(x_0, y_0)$处连续，意味着当$(x,y)$趋近于$(x_0, y_0)$时，函数值$f(x,y)$趋近于$f(x_0, y_0)$。即，$\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)$。
步骤 2：分析连续性与极限的关系
根据连续性的定义，如果函数在某点连续，那么该点的极限值应该等于函数在该点的函数值。因此，如果函数z=f(x,y)在点$(x_0, y_0)$处连续，那么在该点处的极限一定存在，且等于$f(x_0, y_0)$。
步骤 3：应用到题目中的点$(x,0,y)$
题目中提到的点$(x,0,y)$，如果函数z=f(x,y)在该点连续，那么根据步骤2的分析，该点处的极限一定存在，且等于$f(x,0,y)$。