(2)设函数 (x)=lim _(narrow infty )sqrt [n](1+{|x|)^3n}, 则 f(x)在 (-infty ,+infty ) 内 ()-|||-(A)处处可导 (B) 恰有一个不可导点-|||-(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点

考查要点：本题主要考查分段函数的可导性判断，需要结合极限运算确定函数表达式，再分析分段点处的导数是否存在。

解题核心思路：

1. 分段讨论：根据绝对值的不同取值范围（|x| < 1、|x|=1、|x| > 1），求出函数f(x)的表达式。
2. 判断可导性：在分段点x=1和x=-1处，分别计算左右导数，若左右导数不相等，则该点不可导。

破题关键点：

• 极限化简：通过分析|x|^{3n}在不同范围的极限行为，确定f(x)的分段表达式。
• 导数存在性：明确分段点处左右导数是否相等，从而判断不可导点的数量。

分段表达式推导

1. 当|x| < 1时：

   • |x|^{3n} → 0（因|x| < 1），故：
     $f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + |x|^{3n}} = \sqrt[n]{1} = 1$

2. 当|x| = 1时：

   • |x|^{3n} = 1，故：
     $f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + 1} = \lim_{n \to \infty} 2^{1/n} = 1$

3. 当|x| > 1时：

   • |x|^{3n} → +∞（因|x| > 1），故：
     $f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|x|^{3n}} = \lim_{n \to \infty} |x|^3 = |x|^3$

综上，函数分段为：
$f(x) = \begin{cases}1, & |x| \leq 1, \\|x|^3, & |x| > 1.\end{cases}$

可导性分析

x = 1处

• 左导数（x → 1⁻）：f(x) = 1（常数函数），导数为0。
• 右导数（x → 1⁺）：f(x) = x³，导数为3x²，代入x=1得3。
• 结论：左右导数不相等，x=1不可导。

x = -1处

• 左导数（x → -1⁻）：f(x) = (-x)³，导数为-3x²，代入x=-1得-3。
• 右导数（x → -1⁺）：f(x) = 1（常数函数），导数为0。
• 结论：左右导数不相等，x=-1不可导。

其他点

• |x| < 1：f(x)=1，导数为0，可导。
• |x| > 1：f(x)=|x|³，导数为3x²（x>1）或-3x²（x<-1），可导。

最终结论：函数f(x)在x=1和x=-1处不可导，恰有两个不可导点。