12.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:-|||-(2) ^2+(y)^2+(z)^2=2az(agt 0) 及 ^2+(y)^2=(z)^2 (含有z轴的部分);

本题考查利用三重积分计算由曲面所围成的立体的体积。解题思路是先求出两个曲面的交线，确定积分区域在$z$轴上的范围，然后根据$z$的不同取值范围确定$xOy$平面上的投影区域$D_z$，最后利用“先二后一”的方法计算三重积分得到体积。

步骤一：求两曲面的交线

联立两曲面方程$\begin{cases}x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az(a\gt0)\\x^{2}+y^{2}=z^{2}\end{cases}$，将$x^{2}+y^{2}=z^{2}$代入$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az$中，可得：
$z^{2}+z^{2}=2az$，即$2z^{2}-2az = 0$，提取公因式$2z$得到$2z(z - a)=0$。
解得$z = 0$或$z = a$。

步骤二：确定不同$z$值范围下的投影区域$D_z$

• 当$0\leqslant z\leqslant a$时，由$x^{2}+y^{2}=z^{2}$可知，在$xOy$平面上的投影区域$D_z=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leqslant z^{2}\}$，这是一个以原点为圆心，$z$为半径的圆。
• 当$a\leqslant z\leqslant 2a$时，由$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2az$可得$x^{2}+y^{2}=2az - z^{2}$，此时在$xOy$平面上的投影区域$D_z=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leqslant 2az - z^{2}\}$，这是一个以原点为圆心，$\sqrt{2az - z^{2}}$为半径的圆。

步骤三：利用“先二后一”法计算体积

根据“先二后一”法，$V=\iiint_{\varOmega}dV=\int_{z_1}^{z_2}dz\iint_{D_z}dxdy$，其中$z_1$和$z_2$是$z$的取值范围，$D_z$是$xOy$平面上的投影区域。
将体积$V$分为两部分$V = V_1+V_2$：

• $V_1=\int_{0}^{a}dz\iint_{D_z}dxdy$，因为$D_z$是半径为$z$的圆，其面积为$\pi z^{2}$，所以$V_1=\int_{0}^{a}\pi z^{2}dz$。
  根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$V_1=\pi\cdot\frac{1}{3}z^{3}\big|_{0}^{a}=\frac{1}{3}\pi a^{3}$。
• $V_2=\int_{a}^{2a}dz\iint_{D_z}dxdy$，因为$D_z$是半径为$\sqrt{2az - z^{2}}$的圆，其面积为$\pi(2az - z^{2})$，所以$V_2=\int_{a}^{2a}\pi(2az - z^{2})dz$。
  根据积分的线性性质$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，可得：
  $V_2=\pi\left(\int_{a}^{2a}2azdz-\int_{a}^{2a}z^{2}dz\right)$
  $=\pi\left(2a\cdot\frac{1}{2}z^{2}\big|_{a}^{2a}-\frac{1}{3}z^{3}\big|_{a}^{2a}\right)$
  $=\pi\left(a(4a^{2}-a^{2})-\frac{1}{3}(8a^{3}-a^{3})\right)$
  $=\pi\left(3a^{3}-\frac{7}{3}a^{3}\right)=\frac{2}{3}\pi a^{3}$。

步骤四：计算总体积

$V = V_1+V_2=\frac{1}{3}\pi a^{3}+\frac{2}{3}\pi a^{3}=\pi a^{3}$。