25.求二重积分∫xsiny^3dxdy,其中D是由三点(0,0),(0,1),(1,1)所围成的三-|||-角形区域.

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及积分区域的确定、积分顺序的选择以及换元积分法的应用。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：三角形区域D由点(0,0)、(0,1)、(1,1)构成，需转化为数学表达式。
2. 选择积分顺序：通过分析被积函数和积分区域，选择先对$x$积分再对$y$积分，简化计算。
3. 分步积分：先对$x$积分时，$\sin(y^3)$视为常数；再对$y$积分时，利用换元法求解。

破题关键点：

• 积分区域的描述：$y$从$0$到$1$，对应$x$从$0$到$y$。
• 换元法应用：令$u = y^3$，将积分转化为基本形式。

步骤1：确定积分区域

三角形区域$D$的顶点为$(0,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$，可描述为：

• $y$的范围：$0 \leq y \leq 1$；
• 对每个$y$，$x$的范围：$0 \leq x \leq y$。

步骤2：选择积分顺序并写出二重积分表达式

选择先对$x$积分，再对$y$积分：
$\iint_D x \sin(y^3) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} x \sin(y^3) \, dx \, dy$

步骤3：对$x$积分

内部积分：
$\int_{0}^{y} x \sin(y^3) \, dx = \sin(y^3) \int_{0}^{y} x \, dx = \sin(y^3) \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{y} = \frac{1}{2} y^2 \sin(y^3)$

步骤4：对$y$积分

外部积分：
$\int_{0}^{1} \frac{1}{2} y^2 \sin(y^3) \, dy$
换元法：令$u = y^3$，则$du = 3y^2 dy$，即$y^2 dy = \frac{1}{3} du$。积分上下限变为$u=0$到$u=1$：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \sin(u) \, du = \frac{1}{6} \left[ -\cos(u) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} \left( -\cos(1) + 1 \right)$

步骤5：整理结果

最终结果为：
$-\frac{1}{6} (\cos(1) - 1)$