题目
一颗 质量 m 在轨运行的资源探测卫星，它在近地点的 高度 ( 地面的 距离 ) 为 T ，速度为v，远地点的高度 H， 若已知地球 质量mE ，半径 R ，地球表面的重力加 速度 g， 万有引力常量为 G ，则系统的机械能 E =（ ），卫星在远地点的速率 v远 =（ ）
一颗 质量 m 在轨运行的资源探测卫星，它在近地点的 高度 ( 地面的 距离 ) 为 T ，速度为v，远地点的高度 H， 若已知地球 质量mE ，半径 R ，地球表面的重力加 速度 g， 万有引力常量为 G ，则系统的机械能 E =（ ），卫星在远地点的速率 v远 =（ ）
题目解答
答案
1.E=
2.由机械能守恒得：w=
由牛顿第二定律可知卫星在远日点：
=ma1
由牛顿第二定律可知卫星在近日点：
=ma2
解得：v远=
解析
步骤 1：计算系统的机械能
根据万有引力定律，卫星在近地点的机械能为动能和势能之和。动能为 $\frac{1}{2}mv^2$，势能为 $-\frac{GMm}{r}$，其中 $r$ 为卫星到地心的距离，即 $r = R + T$。因此，系统的机械能 $E$ 为：
$$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R + T}$$
步骤 2：利用机械能守恒定律计算远地点的速率
由于卫星在轨道上运动时，机械能守恒，即近地点和远地点的机械能相等。设远地点的速率 $v_{远}$，则有：
$$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R + T} = \frac{1}{2}mv_{远}^2 - \frac{GMm}{R + H}$$
解此方程，可得远地点的速率 $v_{远}$。
步骤 3：计算远地点的速率
将步骤 2 中的方程变形，得到：
$$v_{远}^2 = v^2 - \frac{2GM}{R + T} + \frac{2GM}{R + H}$$
因此，远地点的速率 $v_{远}$ 为：
$$v_{远} = \sqrt{v^2 - \frac{2GM}{R + T} + \frac{2GM}{R + H}}$$
根据万有引力定律，卫星在近地点的机械能为动能和势能之和。动能为 $\frac{1}{2}mv^2$，势能为 $-\frac{GMm}{r}$，其中 $r$ 为卫星到地心的距离，即 $r = R + T$。因此，系统的机械能 $E$ 为：
$$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R + T}$$
步骤 2：利用机械能守恒定律计算远地点的速率
由于卫星在轨道上运动时，机械能守恒，即近地点和远地点的机械能相等。设远地点的速率 $v_{远}$，则有：
$$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R + T} = \frac{1}{2}mv_{远}^2 - \frac{GMm}{R + H}$$
解此方程，可得远地点的速率 $v_{远}$。
步骤 3：计算远地点的速率
将步骤 2 中的方程变形，得到：
$$v_{远}^2 = v^2 - \frac{2GM}{R + T} + \frac{2GM}{R + H}$$
因此，远地点的速率 $v_{远}$ 为：
$$v_{远} = \sqrt{v^2 - \frac{2GM}{R + T} + \frac{2GM}{R + H}}$$