题目
(9)int(dx)/(3+cos x);
(9)$\int\frac{dx}{3+\cos x}$;
题目解答
答案
为了求解积分 $\int \frac{dx}{3 + \cos x}$，我们可以使用万能代换，即令 $u = \tan \frac{x}{2}$。这个代换非常有用，因为它可以将三角函数转换为有理函数。以下是我们将遵循的步骤：
1. **使用万能代换：**
设 $u = \tan \frac{x}{2}$。那么，我们有：
\[
\cos x = \frac{1 - u^2}{1 + u^2} \quad \text{和} \quad dx = \frac{2 \, du}{1 + u^2}.
\]
2. **将 $\cos x$ 和 $dx$ 代入积分：**
积分变为：
\[
\int \frac{dx}{3 + \cos x} = \int \frac{\frac{2 \, du}{1 + u^2}}{3 + \frac{1 - u^2}{1 + u^2}}.
\]
3. **简化被积函数：**
分母可以简化如下：
\[
3 + \frac{1 - u^2}{1 + u^2} = \frac{3(1 + u^2) + (1 - u^2)}{1 + u^2} = \frac{3 + 3u^2 + 1 - u^2}{1 + u^2} = \frac{4 + 2u^2}{1 + u^2} = \frac{2(2 + u^2)}{1 + u^2}.
\]
因此，积分变为：
\[
\int \frac{\frac{2 \, du}{1 + u^2}}{\frac{2(2 + u^2)}{1 + u^2}} = \int \frac{2 \, du}{2(2 + u^2)} = \int \frac{du}{2 + u^2}.
\]
4. **使用 $u^2 + 2$ 的积分公式：**
积分 $\int \frac{du}{2 + u^2}$ 可以通过识别它为反正切函数的形式来求解。我们重写分母为：
\[
\int \frac{du}{2 + u^2} = \int \frac{du}{2\left(1 + \left(\frac{u^2}{2}\right)\right)} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{1 + \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2}.
\]
设 $v = \frac{u}{\sqrt{2}}$，则 $dv = \frac{1}{\sqrt{2}} \, du$，所以 $du = \sqrt{2} \, dv$。将这些代入积分，我们得到：
\[
\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{2} \, dv}{1 + v^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{dv}{1 + v^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan v + C.
\]
将 $v = \frac{u}{\sqrt{2}}$ 代回，我们得到：
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C.
\]
5. **将 $u = \tan \frac{x}{2}$ 代回：**
最终答案是：
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}}\right) + C.
\]
因此，积分 $\int \frac{dx}{3 + \cos x}$ 的值是：
\[
\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}}\right) + C}.
\]
解析
步骤 1：使用万能代换
设 $u = \tan \frac{x}{2}$，则有 $\cos x = \frac{1 - u^2}{1 + u^2}$ 和 $dx = \frac{2 \, du}{1 + u^2}$。
步骤 2：将 $\cos x$ 和 $dx$ 代入积分
积分变为 $\int \frac{\frac{2 \, du}{1 + u^2}}{3 + \frac{1 - u^2}{1 + u^2}}$。
步骤 3：简化被积函数
分母可以简化为 $\frac{4 + 2u^2}{1 + u^2} = \frac{2(2 + u^2)}{1 + u^2}$，因此积分变为 $\int \frac{2 \, du}{2(2 + u^2)} = \int \frac{du}{2 + u^2}$。
步骤 4：使用 $u^2 + 2$ 的积分公式
积分 $\int \frac{du}{2 + u^2}$ 可以通过识别它为反正切函数的形式来求解。我们重写分母为 $\int \frac{du}{2\left(1 + \left(\frac{u^2}{2}\right)\right)} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{1 + \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2}$。设 $v = \frac{u}{\sqrt{2}}$，则 $dv = \frac{1}{\sqrt{2}} \, du$，所以 $du = \sqrt{2} \, dv$。将这些代入积分，我们得到 $\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{2} \, dv}{1 + v^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{dv}{1 + v^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan v + C$。将 $v = \frac{u}{\sqrt{2}}$ 代回，我们得到 $\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C$。
步骤 5：将 $u = \tan \frac{x}{2}$ 代回
最终答案是 $\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}}\right) + C$。
设 $u = \tan \frac{x}{2}$，则有 $\cos x = \frac{1 - u^2}{1 + u^2}$ 和 $dx = \frac{2 \, du}{1 + u^2}$。
步骤 2：将 $\cos x$ 和 $dx$ 代入积分
积分变为 $\int \frac{\frac{2 \, du}{1 + u^2}}{3 + \frac{1 - u^2}{1 + u^2}}$。
步骤 3：简化被积函数
分母可以简化为 $\frac{4 + 2u^2}{1 + u^2} = \frac{2(2 + u^2)}{1 + u^2}$，因此积分变为 $\int \frac{2 \, du}{2(2 + u^2)} = \int \frac{du}{2 + u^2}$。
步骤 4：使用 $u^2 + 2$ 的积分公式
积分 $\int \frac{du}{2 + u^2}$ 可以通过识别它为反正切函数的形式来求解。我们重写分母为 $\int \frac{du}{2\left(1 + \left(\frac{u^2}{2}\right)\right)} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{1 + \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2}$。设 $v = \frac{u}{\sqrt{2}}$，则 $dv = \frac{1}{\sqrt{2}} \, du$，所以 $du = \sqrt{2} \, dv$。将这些代入积分，我们得到 $\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{2} \, dv}{1 + v^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{dv}{1 + v^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan v + C$。将 $v = \frac{u}{\sqrt{2}}$ 代回，我们得到 $\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C$。
步骤 5：将 $u = \tan \frac{x}{2}$ 代回
最终答案是 $\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan \left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}}\right) + C$。