题目
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第$\boxed{23}$题：已知$A=diag(1,2,3)$，则$A^{n}=diag(1,2^{n},3^{n})$。
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题目解答
答案
对角矩阵的幂次运算规则为：若 $ A = \text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n) $，则 $ A^k = \text{diag}(a_1^k, a_2^k, \ldots, a_n^k) $。
给定 $ A = \text{diag}(1, 2, 3) $，则
\[ A^n = \text{diag}(1^n, 2^n, 3^n) = \text{diag}(1, 2^n, 3^n). \]
与题目中给出的表达式一致，故陈述正确。
答案：$\boxed{\text{正确}}$
解析
考查要点：本题主要考查对角矩阵的幂运算性质，即对角矩阵的n次方如何计算。
解题核心思路：对角矩阵的乘法具有特殊性质，即对角矩阵相乘时，对角线元素相乘，非对角线元素保持为零。因此，对角矩阵的n次方运算可分解为每个对角线元素分别取n次幂。
破题关键点：
- 理解对角矩阵的乘法规则：若$A = \text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_k)$，则$A^m \cdot A^n = A^{m+n}$，且每个对角线元素独立运算。
- 归纳幂运算规律：通过逐次乘法可推导出$A^n = \text{diag}(a_1^n, a_2^n, \ldots, a_k^n)$。
对角矩阵的幂运算规则：
若$A = \text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_k)$，则对任意正整数$n$，有
$A^n = \underbrace{A \cdot A \cdot \ldots \cdot A}_{n \text{个} A} = \text{diag}(a_1^n, a_2^n, \ldots, a_k^n).$
具体推导：
- 初始条件：$A = \text{diag}(1, 2, 3)$。
- 第一次幂：$A^1 = A = \text{diag}(1^1, 2^1, 3^1)$。
- 第二次幂：
$A^2 = A \cdot A = \text{diag}(1 \cdot 1, 2 \cdot 2, 3 \cdot 3) = \text{diag}(1^2, 2^2, 3^2).$ - 归纳假设：假设$A^k = \text{diag}(1^k, 2^k, 3^k)$成立。
- 递推步骤：
$A^{k+1} = A^k \cdot A = \text{diag}(1^k \cdot 1, 2^k \cdot 2, 3^k \cdot 3) = \text{diag}(1^{k+1}, 2^{k+1}, 3^{k+1}).$ - 结论：由数学归纳法可知，对任意正整数$n$，$A^n = \text{diag}(1^n, 2^n, 3^n)$。