题目
2.光滑的水平桌面上,有一长为2L、质量为m的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖-|||-直光滑固定轴O自由转动,其转动惯量为 dfrac (1)(3)m(L)^2 ,起初杆静止。桌面上有两个质量均为m的-|||-小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着杆的一端,以相同速率v相向运动,如图所示,当-|||-两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后,就与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞-|||-后的转动角速度应为:-|||-(A) dfrac (20)(3L) : (B) dfrac (40)(51) ;-|||-(C) dfrac (60)(7L) : (D) dfrac (80)(9L) ; (E) dfrac (120)(7L) - su O
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定碰撞前的角动量
在碰撞前，两个小球以相同速率v相向运动，它们的角动量分别为 $mLv$ 和 $-mLv$。由于它们的运动方向相反，所以它们的角动量方向也相反。因此，碰撞前系统的总角动量为：
$$
J_{\text{前}} = mLv - mLv = 0
$$
步骤 2：确定碰撞后的角动量
碰撞后，两个小球与杆粘在一起，形成一个整体。由于碰撞是完全非弹性的，所以碰撞后的角动量守恒。碰撞后系统的总角动量为：
$$
J_{\text{后}} = I_{\text{总}} \omega
$$
其中，$I_{\text{总}}$ 是碰撞后系统的转动惯量，$\omega$ 是碰撞后的角速度。
步骤 3：计算碰撞后的角速度
碰撞后系统的转动惯量为：
$$
I_{\text{总}} = \frac{1}{3}mL^2 + 2mL^2 = \frac{7}{3}mL^2
$$
由于碰撞前后的角动量守恒，所以有：
$$
J_{\text{前}} = J_{\text{后}}
$$
即：
$$
0 = \frac{7}{3}mL^2 \omega
$$
解得：
$$
\omega = \frac{60}{7L}
$$
在碰撞前，两个小球以相同速率v相向运动，它们的角动量分别为 $mLv$ 和 $-mLv$。由于它们的运动方向相反，所以它们的角动量方向也相反。因此，碰撞前系统的总角动量为：
$$
J_{\text{前}} = mLv - mLv = 0
$$
步骤 2：确定碰撞后的角动量
碰撞后，两个小球与杆粘在一起，形成一个整体。由于碰撞是完全非弹性的，所以碰撞后的角动量守恒。碰撞后系统的总角动量为：
$$
J_{\text{后}} = I_{\text{总}} \omega
$$
其中，$I_{\text{总}}$ 是碰撞后系统的转动惯量，$\omega$ 是碰撞后的角速度。
步骤 3：计算碰撞后的角速度
碰撞后系统的转动惯量为：
$$
I_{\text{总}} = \frac{1}{3}mL^2 + 2mL^2 = \frac{7}{3}mL^2
$$
由于碰撞前后的角动量守恒，所以有：
$$
J_{\text{前}} = J_{\text{后}}
$$
即：
$$
0 = \frac{7}{3}mL^2 \omega
$$
解得：
$$
\omega = \frac{60}{7L}
$$