设α1,α2,β1,β2均是3维列向量,且a1,a 2线性无关,β1,β2线性无关,-|||-证明存在非零向量y,使得y既可由α1,α2线性表出也可由β1,β2线性表出.-|||-17 2 -3 S-|||-当α1= 0 α2= -1 β1= 2 _(2)= 1 时,求出所有的向量y.-|||-2 3 [-5 1

步骤 1：证明存在非零向量y
由于α1,α2,β1,β2均是3维列向量，且α1,α2线性无关，β1,β2线性无关，因此α1,α2,β1,β2这四个向量在3维空间中必然是线性相关的。根据线性代数中的相关定理，如果一组向量的个数大于向量所在空间的维数，那么这组向量必然是线性相关的。因此，存在不全为零的数k1,k2,l1,l2，使得
\[ k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + l_1\beta_1 + l_2\beta_2 = 0 \]
步骤 2：确定非零向量y
由于α1,α2线性无关，β1,β2线性无关，因此k1,k2和l1,l2不能同时为零。不失一般性，假设k1,k2不全为零，那么可以取
\[ y = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = -l_1\beta_1 - l_2\beta_2 \]
这样，y既可由α1,α2线性表出，也可由β1,β2线性表出。
步骤 3：求出所有的向量y
当α1= 0 ,α2= -1 ,${\beta }_{1}=$ 2 ,${B}_{2}=$ 1 时，求出所有的向量y。 2 3 乚-5 1
解方程组
\[ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + y_1\beta_1 + y_2\beta_2 = 0 \]
求其通解可知
\[ y = k[ 0,1,1] \]