7.指出下列函数在零点 z=0 的阶:-|||-(3) sin (z)^3+(z)^3((z)^6-6)

考查要点：本题要求判断复变函数在零点$z=0$处的零点阶，需利用泰勒展开分析函数在该点的展开式中第一个非零项的次数。

解题核心思路：

1. 分解函数：将函数拆分为两部分$6\sin{z^3}$和$z^3(z^6-6)$。
2. 分别展开：对每一部分进行泰勒展开，找到各自的最低次项。
3. 合并展开式：将两部分的展开式相加，确定合并后第一个非零项的次数，即为零点阶。

破题关键点：

• 泰勒展开的准确性：正确展开$\sin{z^3}$的泰勒级数并乘以系数。
• 抵消现象：注意两部分展开后低次项可能相互抵消，需找到剩余的最低次项。

分解函数

函数为$6\sin{z^3} + z^3(z^6 -6)$，分为两部分：

1. 第一部分：$6\sin{z^3}$
2. 第二部分：$z^3(z^6 -6)$

展开第一部分

$\sin{w}$的泰勒展开式为：
$\sin{w} = w - \frac{w^3}{3!} + \frac{w^5}{5!} - \cdots$
令$w = z^3$，则：
$\sin{z^3} = z^3 - \frac{z^9}{6} + \frac{z^{15}}{120} - \cdots$
乘以6得：
$6\sin{z^3} = 6z^3 - z^9 + \frac{z^{15}}{20} - \cdots$

展开第二部分

直接展开：
$z^3(z^6 -6) = z^9 -6z^3$

合并展开式

将两部分相加：
$\begin{aligned}6\sin{z^3} + z^3(z^6 -6) &= (6z^3 - z^9 + \frac{z^{15}}{20} - \cdots) + (z^9 -6z^3) \\&= (6z^3 -6z^3) + (-z^9 + z^9) + \frac{z^{15}}{20} + \cdots \\&= \frac{z^{15}}{20} + \cdots\end{aligned}$
关键结论：合并后第一个非零项为$\frac{z^{15}}{20}$，对应零点阶为15。