题目
已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）．（1）求该抛物线的对称轴；（2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上（A，B与原点都不重合）．①若a=(1)/(2)，且x1=x2，比较y1与y2的大小；②当((y)_(2))/((y)_{1)}=((x)_(2))/((x)_{1)}时，若((x)_(2))/((x)_{1)}是一个与x1无关的定值，求a与b的值．
已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上（A，B与原点都不重合）．
①若$a=\frac{1}{2}$，且x1=x2，比较y1与y2的大小；
②当$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$时，若$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$是一个与x1无关的定值，求a与b的值．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上（A，B与原点都不重合）．
①若$a=\frac{1}{2}$，且x1=x2，比较y1与y2的大小；
②当$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$时，若$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$是一个与x1无关的定值，求a与b的值．
题目解答
答案
（1）解：由题意得，将点（4，0）代入y=ax2+bx得，
16a+4b=0，即b=-4a，
所以$-\frac{b}{2a}=2$，
故所求抛物线的对称轴是直线x=2．
（2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$．
又x1=x2，
故${y}_{2}-{y}_{1}=（{x}_{2}^{2}-2{x}_{2}）-（\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}）=（{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}）-（\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}）=\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}$．
因为抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$过原点，且点A与原点不重合，所以x1≠0．
于是$\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}＞0$，
故y2＞y1．
②由题意知，${y}_{1}=a{x}_{1}^{2}-4a{x}_{1}$，${y}_{2}={x}_{2}^{2}-2{x}_{2}$．
∵$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{{x}_{2}^{2}-2{x}_{2}}{a（{x}_{1}^{2}-4{x}_{1}）}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0．
故$\frac{{x}_{2}-2}{a（{x}_{1}-4）}=1$，即x2=a（x1-4）+2．
于是$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=\frac{a（{x}_{1}-4）+2}{{x}_{1}}=a+\frac{2-4a}{{x}_{1}}$．
依题意知，$a+\frac{2-4a}{{x}_{1}}$是与x1无关的定值．
则2-4a=0，解得$a=\frac{1}{2}$．
经检验，当$a=\frac{1}{2}$时，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=\frac{1}{2}$是一个与x1无关的定值，符合题意．
所以$a=\frac{1}{2}$，b=-4a=-2．
16a+4b=0，即b=-4a，
所以$-\frac{b}{2a}=2$，
故所求抛物线的对称轴是直线x=2．
（2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$．
又x1=x2，
故${y}_{2}-{y}_{1}=（{x}_{2}^{2}-2{x}_{2}）-（\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}）=（{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}）-（\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}-2{x}_{1}）=\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}$．
因为抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$过原点，且点A与原点不重合，所以x1≠0．
于是$\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}＞0$，
故y2＞y1．
②由题意知，${y}_{1}=a{x}_{1}^{2}-4a{x}_{1}$，${y}_{2}={x}_{2}^{2}-2{x}_{2}$．
∵$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{{x}_{2}^{2}-2{x}_{2}}{a（{x}_{1}^{2}-4{x}_{1}）}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0．
故$\frac{{x}_{2}-2}{a（{x}_{1}-4）}=1$，即x2=a（x1-4）+2．
于是$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=\frac{a（{x}_{1}-4）+2}{{x}_{1}}=a+\frac{2-4a}{{x}_{1}}$．
依题意知，$a+\frac{2-4a}{{x}_{1}}$是与x1无关的定值．
则2-4a=0，解得$a=\frac{1}{2}$．
经检验，当$a=\frac{1}{2}$时，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=\frac{1}{2}$是一个与x1无关的定值，符合题意．
所以$a=\frac{1}{2}$，b=-4a=-2．