lim_(n to infty) u_n = 0 是级数 sum_(n=1)^infty u_n 收敛的(）条件。A. 必要非充分B. 充分非必要C. 充要D. 既不充分又不必要

本题考查级数收敛的必要条件以及充分条件的判断，解题思路是分别判断“$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$”能否推出“级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛”以及“级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛”能否推出“$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$”。

1. 判断充分性

充分性是指由“$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$”能否推出“级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛”。
我们可以通过举反例来进行判断，考虑调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$，对于$u_n=\frac{1}{n}$，计算其极限：
$\lim_{n \to \infty} u_n=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$
但是调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$是发散的，这说明当$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$时，级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$不一定收敛，即“$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$”不能推出“级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛”，所以充分性不成立。

2. 判断必要性

必要性是指由“级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛”能否推出“$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$”。
设级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$的部分和为$S_n$，即$S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$，且$\lim_{n \to \infty} S_n = S$（因为级数收敛）。
那么$S_{n - 1} = u_1 + u_2 + \cdots + u_{n - 1}$，且$\lim_{n \to \infty} S_{n - 1} = S$。
而$u_n = S_n - S_{n - 1}$，根据极限的运算法则：
$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n - 1})=\lim_{n \to \infty} S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n - 1}=S - S = 0$
这表明若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，即“级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛”可以推出“$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$”，所以必要性成立。

综上，$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$是级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛的必要非充分条件。