题目
若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，Phi(x)= int_(a)^x f(t)dt，则下列说法错误的是（）A. Phi(x) 是 f(x) 在 [a, b] 上的一个原函数.B. Phi(x)= int_(a)^x f(t)dt 的定义域为 [a, b].C. Phi'(x^2)= (int_(a)^x^2 f(t)dt )' = 2xf(x^2).D. Phi'(x)= (int_(a)^x f(t)dt )' = f(x).
若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，$\Phi(x)= \int_{a}^{x} f(t)dt$，则下列说法错误的是（）
A. $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数.
B. $\Phi(x)= \int_{a}^{x} f(t)dt$ 的定义域为 $[a, b]$.
C. $\Phi'(x^2)= \left(\int_{a}^{x^2} f(t)dt \right)' = 2xf(x^2)$.
D. $\Phi'(x)= \left(\int_{a}^{x} f(t)dt \right)' = f(x)$.
题目解答
答案
A. $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数.
解析
步骤 1：理解微积分基本定理
微积分基本定理指出，如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，那么函数 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且其导数 $\Phi'(x) = f(x)$。这意味着 $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
步骤 2：分析选项A
选项A说 $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数。根据微积分基本定理，这是正确的，但题目要求找出错误的选项，因此我们需要继续分析其他选项。
步骤 3：分析选项B
选项B说 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ 的定义域为 $[a, b]$。由于积分的上限 $x$ 可以取 $[a, b]$ 上的任何值，因此 $\Phi(x)$ 的定义域确实是 $[a, b]$，这是正确的。
步骤 4：分析选项C
选项C说 $\Phi'(x^2) = \left(\int_{a}^{x^2} f(t) \, dt\right)' = 2x f(x^2)$。根据链式法则，这是正确的，因为 $\Phi'(x^2)$ 的导数需要乘以 $x^2$ 的导数，即 $2x$。
步骤 5：分析选项D
选项D说 $\Phi'(x) = \left(\int_{a}^{x} f(t) \, dt\right)' = f(x)$。根据微积分基本定理，这是正确的。
微积分基本定理指出，如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，那么函数 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且其导数 $\Phi'(x) = f(x)$。这意味着 $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
步骤 2：分析选项A
选项A说 $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数。根据微积分基本定理，这是正确的，但题目要求找出错误的选项，因此我们需要继续分析其他选项。
步骤 3：分析选项B
选项B说 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ 的定义域为 $[a, b]$。由于积分的上限 $x$ 可以取 $[a, b]$ 上的任何值，因此 $\Phi(x)$ 的定义域确实是 $[a, b]$，这是正确的。
步骤 4：分析选项C
选项C说 $\Phi'(x^2) = \left(\int_{a}^{x^2} f(t) \, dt\right)' = 2x f(x^2)$。根据链式法则，这是正确的，因为 $\Phi'(x^2)$ 的导数需要乘以 $x^2$ 的导数，即 $2x$。
步骤 5：分析选项D
选项D说 $\Phi'(x) = \left(\int_{a}^{x} f(t) \, dt\right)' = f(x)$。根据微积分基本定理，这是正确的。