15．将 n 只球（1~ n 号）随机地放进 n 个盒子（1~ n 号）中去，一个盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记 X 为总的配对数，求 E ( X ).

考查要点：本题主要考查期望的线性性质和指示变量法的应用。关键在于将总配对数分解为各球独立的配对事件之和，利用期望的线性性简化计算。

解题核心思路：

1. 分解问题：将总配对数$X$表示为各球是否配对的指示变量之和，即$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$。
2. 计算单个期望：每个指示变量$X_i$的期望为$\mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{n}$，因为第$i$号球放入第$i$号盒子的概率是$\frac{1}{n}$。
3. 线性叠加：利用期望的线性性，总期望$\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = n \cdot \frac{1}{n} = 1$。

破题关键点：

• 忽略依赖关系：即使各球的配对事件相互影响，期望的线性性仍允许直接相加各单个期望。
• 指示变量法：通过定义二元变量简化复杂事件的计算。

步骤1：定义指示变量
对每个球$i$（$i=1,2,\dots,n$），定义指示变量：
$X_i = \begin{cases}1, & \text{第$i$号球放入第$i$号盒子}, \\0, & \text{否则}.\end{cases}$
总配对数$X$可表示为：
$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n.$

步骤2：计算单个期望
每个球放入盒子是等概率的，因此第$i$号球放入第$i$号盒子的概率为$\frac{1}{n}$，即：
$\mathbb{E}[X_i] = 1 \cdot \frac{1}{n} + 0 \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}.$

步骤3：利用线性性求和
根据期望的线性性质，总期望为各单个期望之和：
$\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[X_1 + X_2 + \cdots + X_n] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = n \cdot \frac{1}{n} = 1.$